Упр.1286 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите симметрии фигуры F, данной на рисунке 377.
- Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $$2$$. Докажите, что середины сторон и основания высот этого треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.
Пусть $$\angle A=a,\quad \angle B=2a,\quad \angle C=4a.$$ Тогда
$$a+2a+4a=180^\circ,$$
откуда
$$a=\frac{180^\circ}{7},\quad \angle B=\frac{360^\circ}{7},\quad \angle C=\frac{720^\circ}{7}.$$
Внутренний угол правильного семиугольника равен
$$\beta=180^\circ-\frac{360^\circ}{7}=\frac{900^\circ}{7}.$$
Обозначим через $$M,N,P$$ середины сторон $$AA_1,\;BB_1,\;CC_1$$ соответственно, где $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ — основания высот треугольника.
Так как $$MN,\;NP,\;PM$$ — средние линии треугольника $$ABC,$$ то
$$MN\parallel AC,\quad NP\parallel AB,\quad PM\parallel BC,$$
и
$$MN=\frac12 AC,\quad NP=\frac12 BC,\quad PM=\frac12 AB.$$
Рассмотрим четырёхугольник $$BA_1CC_1.$$ В нём
$$\angle BA_1C=\angle BC_1C=90^\circ,$$
значит, его можно вписать в окружность. Тогда отрезок $$BC$$ является диаметром этой окружности, а её центр — точка $$P.$$ Следовательно,
$$PB=PC=PA_1=PC_1=\frac12 BC.$$
Аналогично, четырёхугольник $$AB_1CC_1$$ тоже вписанный, поэтому его диагональ $$AC$$ является диаметром окружности с центром в точке $$N,$$ и
$$NA=NB=NC_1=NB_1=\frac12 AC.$$
Из равенства соответствующих углов и равенства радиусов получаем, что
$$PA_1=PB_1=PC_1=PN=NM=MP,$$
то есть все стороны шестиугольника $$B_1A_1P C_1M N$$ равны. Кроме того, его углы равны внутреннему углу правильного семиугольника $$\beta.$$ Значит, точки $$B_1,\;A_1,\;P,\;C_1,\;M,\;N$$ являются вершинами правильного семиугольника.
Ответ: середины сторон и основания высот треугольника являются вершинами правильного семиугольника.
