Упр.1285 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Постройте квадрат, если даны его центр и две точки, лежащие на прямых, содержащих параллельные стороны квадрата.
- Задание учебника 2023 года. Пусть $$M$$ — произвольная точка, лежащая внутри правильного $$n$$-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров, проведённых из точки $$M$$ к прямым, содержащим стороны $$n$$-угольника, равна $$nr$$, где $$r$$ — радиус вписанной окружности.
Пусть $$A_1A_2\dots A_n$$ — правильный $$n$$-угольник, $$M$$ — точка внутри него. Обозначим через $$MH_1, MH_2, \dots, MH_n$$ перпендикуляры, опущенные из точки $$M$$ на прямые, содержащие стороны многоугольника.
Площадь правильного $$n$$-угольника можно выразить через периметр $$P$$ и радиус вписанной окружности $$r$$:
$$S=\frac12Pr.$$
Так как все стороны равны $$a$$, то $$P=na$$, значит
$$S=\frac12nar.$$
С другой стороны, площадь многоугольника равна сумме площадей треугольников с общей вершиной $$M$$ и основаниями, равными сторонам многоугольника:
$$S=S_{A_1A_2M}+S_{A_2A_3M}+\dots+S_{A_nA_1M}.$$
Для каждого такого треугольника
$$S_{A_iA_{i+1}M}=\frac12\cdot a\cdot MH_i,$$
поэтому
$$S=\frac12a(MH_1+MH_2+\dots+MH_n).$$
Приравнивая два выражения для площади, получаем
$$\frac12nar=\frac12a(MH_1+MH_2+\dots+MH_n).$$
Сокращая на $$\frac12a$$, имеем
$$MH_1+MH_2+\dots+MH_n=nr.$$
Ответ: $$MH_1+MH_2+\dots+MH_n=nr$$.
