Упр.1283 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Решите предыдущую задачу при условии, что точки $$А$$, $$В$$ и $$С$$ являются вершинами треугольника, а равносторонние треугольники $$АВМ$$ и $$ВСN$$ построены внешним образом на его сторонах $$АВ$$ и $$ВС$$.
2. В данную окружность впишите правильный пятиугольник.

Пусть в равностороннем треугольнике $$AMB$$ точка $$O$$ — середина отрезка $$AB$$. Тогда прямая $$MO$$ является серединным перпендикуляром к $$AB$$. Аналогично, если в равностороннем треугольнике $$BNC$$ точка $$O$$ — середина отрезка $$BC$$, то прямая $$NO$$ является серединным перпендикуляром к $$BC$$.

Так как треугольники $$AMB$$ и $$BNC$$ равносторонние, то

$$\angle ABM=60^\circ,\qquad \angle CBN=60^\circ.$$

Поворот вокруг точки $$B$$ на $$60^\circ$$ переводит луч $$BA$$ в луч $$BM$$, а луч $$BC$$ — в луч $$BN$$. Поэтому отрезок $$AN$$ переходит в отрезок $$MC$$, следовательно,

$$AN=MC.$$

Кроме того, угол между прямыми $$OA$$ и $$OM$$ равен углу между соответствующими сторонами равностороннего треугольника, то есть

$$\angle AOM=60^\circ.$$

Ответ: $$AN=MC,\ \angle AOM=60^\circ.$$