Упр.1282 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1282. На прямой а даны три точки А, В и С, причём точка В лежит между точками А и С. По одну сторону от этой прямой построены равносторонние треугольники АВМ и BCN. Докажите, что отрезки AN и МС равны, и найдите угол между ними. В данную окружность впишите правильный десятиугольник.

1) В равностороннем треугольнике $$AMB$$ все углы равны $$60^\circ$$, значит $$\angle ABM=60^\circ$$ и при повороте вокруг точки $$B$$ на $$60^\circ$$ точка $$A$$ переходит в точку $$M$$.

2) В равностороннем треугольнике $$BNC$$ имеем $$\angle CBN=60^\circ$$, значит при том же повороте вокруг точки $$B$$ точка $$N$$ переходит в точку $$C$$.

Следовательно, поворот на $$60^\circ$$ вокруг точки $$B$$ переводит отрезок $$AN$$ в отрезок $$MC$$. Поворот сохраняет длины, поэтому

$$AN=MC.$$

Угол между отрезками $$AN$$ и $$MC$$ равен углу поворота, то есть

$$\angle(A N, M C)=60^\circ.$$

Построение правильного десятиугольника, вписанного в окружность

1) Отметим на окружности произвольную точку $$E$$.

2) Построим диаметр $$OE$$.

3) Через точку $$O$$ проведём перпендикуляр к $$OE$$ и отметим точку $$A_1$$ на пересечении этого перпендикуляра с окружностью.

4) Отметим точку $$K$$ — середину отрезка $$OA_1$$.

5) Построим окружность с центром $$K$$ и радиусом $$KA_1$$; она пересечёт диаметр $$EO$$ в точке $$M$$.

6) Построим окружность с центром $$A_1$$ и радиусом $$A_1M$$; её пересечение с данной окружностью обозначим через $$A_3$$.

7) Повторяя это построение, последовательно получим точки $$A_5$$, $$A_7$$ и $$A_9$$.

8) Точки $$A_1, A_3, A_5, A_7, A_9$$ образуют правильный пятиугольник.

9) Построим серединные перпендикуляры к его сторонам.

10) Точки $$A_2, A_4, A_6, A_8, A_{10}$$ получим как точки пересечения этих перпендикуляров с окружностью.

Тогда точки $$A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8, A_9, A_{10}$$ делят окружность на 10 равных дуг, то есть образуют правильный десятиугольник.

Ответ

$$AN=MC,\qquad \angle(A N, M C)=60^\circ.$$