Упр.1281 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что отрезки прямых, заключённые внутри квадрата, равны.
- Около правильного пятиугольника $$A_1A_2A_3A_4A_5$$ описана окружность с центром $$O$$. Вершинами треугольника $$ABC$$ являются середины сторон $$A_1A_2$$, $$A_2A_3$$ и $$A_3A_4$$ пятиугольника. Докажите, что центр $$O$$ данной окружности и центр $$O_1$$ окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$, симметричны относительно прямой $$AC$$.
Обозначим сторону правильного пятиугольника через $$a$$.
Тогда
$$A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_1=a,$$
а так как $$A$$, $$B$$, $$C$$ — середины сторон $$A_1A_2$$, $$A_2A_3$$ и $$A_3A_4$$, то
$$A_2A=A_2B=A_3B=A_3C=\frac a2.$$
Рассмотрим треугольники $$AA_2B$$ и $$BA_3C$$. У них
$$A_2A=A_2B=A_3B=A_3C,\qquad \angle AA_2B=\angle BA_3C=108^\circ,$$
значит, $$\triangle AA_2B \cong \triangle BA_3C$$, откуда
$$AB=BC.$$
Следовательно, $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$.
Найдём его углы:
$$\angle ABC=180^\circ-2\angle A_2BA=180^\circ-(180^\circ-108^\circ)=108^\circ,$$
поэтому
$$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^\circ-108^\circ}{2}=36^\circ.$$
Проведём диагональ $$BA_5$$ и обозначим через $$M$$ точку её пересечения с прямой $$AC$$.
Треугольник $$A_2A_5A_3$$ равнобедренный, значит, $$BA_5$$ — медиана, биссектриса и высота. Следовательно, $$BM$$ — медиана, биссектриса и высота треугольника $$ABC$$.
Центр описанной окружности $$O$$ лежит на прямой $$BA_5$$, а центр вписанной окружности $$O_1$$ лежит на биссектрисе угла $$B$$, то есть тоже на $$BA_5$$.
В треугольнике $$ABC$$ прямая $$BM$$ является осью симметрии, поэтому точки $$O$$ и $$O_1$$, лежащие на этой прямой, симметричны относительно прямой $$AC$$.
Итак, центр $$O$$ описанной окружности и центр $$O_1$$ вписанной окружности симметричны относительно прямой $$AC$$.
