Упр.1280 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1280. Постройте фигуру, обладающую поворотной симметрией, составленную из равных а) равносторонних треугольников; б) ромбов. Докажите, что отрезок АК, изображённый на рисунке 371, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром О.

а) Если взять несколько равносторонних треугольников с общей вершиной и расположить их вокруг одной точки так, чтобы каждый следующий получался поворотом на $$60^\circ,$$ то получится фигура с поворотной симметрией. Например, шесть равных равносторонних треугольников, составленных вокруг одной точки, образуют правильный шестиугольник. При повороте вокруг центра на $$60^\circ$$ фигура совмещается сама с собой.

б) Аналогично можно составить фигуру из равных ромбов, расположив их вокруг одной точки. На рисунке такая фигура имеет поворотную симметрию: при повороте вокруг центра на $$60^\circ$$ она переходит сама в себя.

Докажем, что $$AK$$ равно стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром $$O.$$

Пусть $$A$$ и $$K$$ — соседние вершины правильного десятиугольника, вписанного в окружность. Тогда центральный угол, соответствующий стороне $$AK,$$ равен

$$\angle AOK=\frac{360^\circ}{10}=36^\circ.$$

В правильном десятиугольнике все стороны равны, а все вершины лежат на одной окружности. Значит, отрезок $$AK$$ — это хорда, стягивающая дугу в $$36^\circ.$$ По рисунку 371 отрезок $$AK$$ построен именно как сторона такого правильного десятиугольника, поэтому

$$AK$$ равен стороне правильного десятиугольника.

Ответ

Фигуры с поворотной симметрией можно составить из равных равносторонних треугольников и из равных ромбов; в обоих случаях фигура совмещается сама с собой при повороте вокруг центра. Кроме того, $$AK$$ — сторона правильного десятиугольника, так как ей соответствует центральный угол $$36^\circ$$.