Упр.1280 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года: Постройте фигуру, обладающую поворотной симметрией, составленную из равных а) равносторонних треугольников; б) ромбов.
2. Задание учебника 2023 года: Докажите, что отрезок $$AK$$, изображённый на рисунке 371, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром $$O$$.

Пусть $$O$$ — центр окружности, $$OA=OB=R$$, $$\angle AOB=90^\circ$$. Тогда треугольник $$AOB$$ прямоугольный и равнобедренный, значит точка $$C$$ — середина отрезка $$OB$$, поэтому

$$CB=CO=\frac{R}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOC$$. По теореме Пифагора

$$AC^2=AO^2+OC^2=R^2+\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{5R^2}{4},$$

откуда

$$AC=\frac{R\sqrt5}{2}.$$

Так как точка $$K$$ лежит на отрезке $$AC$$ и $$CK=\frac{R}{2}$$, то

$$AK=AC-CK=\frac{R\sqrt5}{2}-\frac{R}{2}=\frac{\sqrt5-1}{2}R.$$

Следовательно, $$AK$$ равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром $$O$$.