Упр.1279 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

На рисунке 370 изображён правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса R, АС — биссектриса угла ОАВ. Докажите, что: a) треугольник ABC подобен треугольникОАВ; б) АВ = АС = ОС =корень5 — 1/2R.

Фигуру с переносной симметрией можно получить, если повторять один и тот же элемент параллельным переносом на равные расстояния.

а) Из прямоугольных треугольников. Построим цепочку равных прямоугольных треугольников так, чтобы каждый следующий треугольник получался из предыдущего параллельным переносом. Тогда вся фигура обладает переносной симметрией.

б) Из ромбов. Расположим равные ромбы в ряд, каждый раз сдвигая их на один и тот же вектор. Полученная ломаная цепочка ромбов также имеет переносную симметрию.

в) Из равнобедренных трапеций. Аналогично, если равные равнобедренные трапеции расположить последовательно и повторять их параллельным переносом, получится фигура с переносной симметрией.

Теперь рассмотрим правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса $$R$$, и биссектрису $$AC$$ угла $$\angle OAB$$.

Так как $$OA=OB=R$$, то треугольник $$OAB$$ равнобедренный. Центральный угол правильного десятиугольника равен

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{10}=36^\circ.$$

Тогда углы при основании:

$$\angle OAB=\angle ABO=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ.$$

Поскольку $$AC$$ — биссектриса угла $$\angle OAB$$, имеем

$$\angle BAC=\angle CAO=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ.$$

В треугольнике $$AOC$$ стороны $$OA=OC$$, значит он равнобедренный, и

$$\angle ACO=\angle CAO=36^\circ.$$

Тогда

$$\angle ACB=\angle ACO+\angle OCB=36^\circ+36^\circ=72^\circ,$$

а также

$$\angle ABC=180^\circ-\angle BAC-\angle ACB=180^\circ-36^\circ-72^\circ=72^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle ABC=\angle OAB,\qquad \angle BAC=\angle AOB,$$

значит

$$\triangle ABC \sim \triangle OAB.$$

Для нахождения длины $$AB$$ обозначим $$AB=x$$. Тогда из подобия и свойств биссектрисы в треугольнике $$OAB$$ получаем

$$\frac{AB}{AO}=\frac{BC}{CO}.$$

Так как $$AO=R$$, а из равенства $$AB=AC$$ и $$AC=OC$$ следует $$BC=R-x$$, то

$$\frac{x}{R}=\frac{R-x}{x}.$$

Отсюда

$$x^2=R(R-x),$$

$$x^2+Rx-R^2=0.$$

Решая квадратное уравнение, получаем

$$x=\frac{-R+\sqrt{R^2+4R^2}}{2}=\frac{-R+\sqrt{5}R}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}R.$$

Значит,

$$AB=AC=OC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}R.$$

Ответ

а) Фигуру можно составить из равных прямоугольных треугольников, расположив их цепочкой параллельным переносом; б) из равных ромбов; в) из равных равнобедренных трапеций.

$$\triangle ABC \sim \triangle OAB,$$

$$AB=AC=OC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}R.$$