Упр.1277 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Существует ли многоугольник, имеющий ровно два центра симметрии? Ответ обоснуйте.
2. В остроугольном треугольнике $$ABC$$ сторона $$AB$$ больше стороны $$BC$$, отрезки $$AM$$ и $$CN$$ — высоты треугольника, точка $$O$$ — центр описанной окружности. Угол $$ABC$$ равен $$\text{Р}$$, а площадь четырёхугольника $$NOMB$$ равна $$S$$. Найдите сторону $$AC$$.

Предположим, что многоугольник имеет два центра симметрии: $$O_1$$ и $$O_2$$.

При симметрии относительно точки $$O_2$$ точка $$O_1$$ перейдёт в некоторую точку $$O_3$$. Так как симметрия сохраняет расстояния и переводит многоугольник в себя, то точка $$O_3$$ тоже будет центром симметрии этого многоугольника.

Но тогда получаются как минимум три центра симметрии: $$O_1$$, $$O_2$$ и $$O_3$$. Они различны, потому что при центральной симметрии относительно $$O_2$$ точка $$O_1$$ переходит в другую точку $$O_3$$, если $$O_1 \ne O_2$$.

Это противоречит условию, что центров симметрии ровно два. Значит, многоугольника с ровно двумя центрами симметрии не существует.

Ответ: нет.