Упр.1274 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Приведите пример многоугольника, не имеющего симметрий.
2. Докажите, что площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, может быть вычислена по формуле $$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$, где $$p$$ — полупериметр, а $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ — стороны четырёхугольника.

Пусть $$ABCD$$ — вписанный четырёхугольник, $$AB=a,\ BC=b,\ CD=c,\ AD=d,$$ а $$p=\dfrac{a+b+c+d}{2}$$ — полупериметр.

Докажем формулу площади.

Так как четырёхугольник вписан в окружность, то

$$\angle A+\angle C=180^\circ,$$

следовательно, $$\sin C=\sin(180^\circ-A)=\sin A.$$

Рассмотрим диагональ $$BD$$. По теореме косинусов в треугольниках $$ABD$$ и $$CBD$$ получаем:

$$BD^2=a^2+d^2-2ad\cos A,$$

$$BD^2=b^2+c^2-2bc\cos C=b^2+c^2+2bc\cos A.$$

Приравнивая, имеем

$$a^2+d^2-2ad\cos A=b^2+c^2+2bc\cos A,$$

откуда

$$\cos A=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}.$$

Тогда

$$\sin^2 A=1-\cos^2 A=1-\left(\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}\right)^2.$$

После преобразований получаем

$$\sin^2 A=\frac{(a+b+c-d)(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)}{4(ad+bc)^2}.$$

Так как $$P=a+b+c+d=2p,$$ то

$$\sin^2 A=\frac{4(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}{(ad+bc)^2},$$

значит

$$\sin A=\frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{ad+bc}.$$

Теперь найдём площадь четырёхугольника:

$$S=S_{ABD}+S_{BCD}=\frac12ad\sin A+\frac12bc\sin C.$$

Так как $$\sin C=\sin A,$$ то

$$S=\frac12(ad+bc)\sin A.$$

Подставляя найденное значение $$\sin A,$$ получаем

$$S=\frac12(ad+bc)\cdot \frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{ad+bc}.$$

Следовательно,

$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$

Ответ: $$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$