Упр.1272 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сколько осей симметрии имеет правильный $$n$$-угольник?
2. Докажите, что в треугольнике ABC биссектриса $$AA_1$$ вычисляется по формуле $$AA_1=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c}$$, где $$b=AC$$, $$c=AB$$.

Пусть $$A_1$$ — основание биссектрисы $$AA_1$$ в треугольнике $$ABC$$, где $$AC=b$$, $$AB=c$$.

Площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{ABC}=\frac12 bc\sin A$$

С другой стороны, треугольник $$ABC$$ разбивается биссектрисой $$AA_1$$ на два треугольника:

$$S_{ABC}=S_{ABA_1}+S_{ACA_1}$$

Тогда

$$\frac12 bc\sin A=\frac12 AA_1\cdot c\sin\frac A2+\frac12 AA_1\cdot b\sin\frac A2$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac12 bc\sin A=\frac12 AA_1(b+c)\sin\frac A2$$

Отсюда

$$AA_1=\frac{bc\sin A}{(b+c)\sin\frac A2}$$

Так как $$\sin A=2\sin\frac A2\cos\frac A2$$, получаем

$$AA_1=\frac{bc\cdot 2\sin\frac A2\cos\frac A2}{(b+c)\sin\frac A2} =\frac{2bc\cos\frac A2}{b+c}$$

Что и требовалось доказать.