Упр.1270 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны два равных и а) параллельных; б) не параллельных отрезка. Постройте центр $$O$$ поворота, при котором один отрезок отображается на другой.
- Диагонали $$AC$$ и $$BD$$ четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Площадь треугольника $$ODC$$ есть среднее пропорциональное между площадями треугольников $$OBC$$ и $$OAD$$. Докажите, что $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ или параллелограмм.
Пусть $$OA=a,\; OB=b,\; OC=c,\; OD=d,$$ а $$\angle COD=\alpha.$$ Тогда
$$S_{ODC}=\frac12\cdot OC\cdot OD\cdot \sin\alpha=\frac{cd}{2}\sin\alpha,$$
$$S_{OBC}=\frac12\cdot OB\cdot OC\cdot \sin(180^\circ-\alpha)=\frac{bc}{2}\sin\alpha,$$
$$S_{OAD}=\frac12\cdot OA\cdot OD\cdot \sin\alpha=\frac{ad}{2}\sin\alpha.$$
По условию $$S_{ODC}=\sqrt{S_{OBC}\cdot S_{OAD}}.$$ Тогда
$$\left(\frac{cd}{2}\sin\alpha\right)^2=\frac{bc}{2}\sin\alpha\cdot \frac{ad}{2}\sin\alpha,$$
$$c^2d^2=bc\cdot ad,$$
$$cd=ad,$$
откуда
$$\frac{c}{a}=\frac{b}{d}=k.$$
Следовательно,
$$\frac{OC}{OA}=\frac{OB}{OD}=k,$$
а также $$\angle BOC=\angle DOA$$ как вертикальные. Значит, $$\triangle BOC \sim \triangle DOA$$ по двум сторонам и углу между ними.
Из подобия получаем
$$\angle CBO=\angle ADO.$$
Так как точки $$B,O,D$$ лежат на одной прямой, то эти углы являются накрест лежащими при секущей $$BD$$ и прямых $$BC$$ и $$AD$$. Поэтому
$$AD \parallel BC.$$
Остаётся рассмотреть возможные случаи для коэффициента $$k$$:
- если $$k<1,$$ то $$BC<AD,$$ и четырёхугольник $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$;
- если $$k=1,$$ то $$\triangle BOC \cong \triangle DOA,$$ откуда $$ABCD$$ — параллелограмм;
- если $$k>1,$$ то $$BC>AD,$$ и снова получаем трапецию с основаниями $$BC$$ и $$AD$$.
Итак, $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ или параллелограмм.
