Упр.1269 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Если при повороте вокруг точки $$O$$ на некоторый угол прямая $$a$$ переходит в прямую $$a_1$$, то угол между прямыми $$a$$ и $$a_1$$ либо равен углу поворота, либо дополняет его до $$180^\circ$$. Докажите.
На сторонах квадрата $$MNPQ$$ взяты точки $$A$$ и $$B$$ так, что $$NA=\frac{1}{2}MN$$, $$QB=\frac{1}{3}MN$$ (рис. 369). Докажите, что угол $$AMB=45^\circ$$.

Подробный ответ

Пусть $$MN=a.$$ Тогда из условий получаем:

$$NA=\frac{1}{2}a,\qquad QB=\frac{1}{3}a.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники.

В треугольнике $$MNA$$:

$$AM^2=MN^2+NA^2=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{5a^2}{4},$$

откуда

$$AM=\frac{a\sqrt5}{2}.$$

В треугольнике $$APB$$:

$$AP=\frac{a}{2},\qquad PB=PQ-QB=a-\frac{a}{3}=\frac{2a}{3},$$

поэтому

$$AB^2=AP^2+PB^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{2a}{3}\right)^2=\frac{25a^2}{36},$$

значит

$$AB=\frac{5a}{6}.$$

В треугольнике $$MBQ$$:

$$MQ=a,\qquad BQ=\frac{a}{3},$$

следовательно

$$MB^2=MQ^2+BQ^2=a^2+\left(\frac{a}{3}\right)^2=\frac{10a^2}{9},$$

то есть

$$MB=\frac{a\sqrt{10}}{3}.$$

Теперь найдём косинус угла $$\angle AMB$$ по теореме косинусов:

$$\cos \angle AMB= \frac{AM^2+MB^2-AB^2}{2\cdot AM\cdot MB} = \frac{\frac{5a^2}{4}+\frac{10a^2}{9}-\frac{25a^2}{36}}{2\cdot \frac{a\sqrt5}{2}\cdot \frac{a\sqrt{10}}{3}}.$$

Вычислим числитель:

$$\frac{5}{4}+\frac{10}{9}-\frac{25}{36} = \frac{45+40-25}{36} = \frac{60}{36} = \frac{5}{3}.$$

Тогда

$$\cos \angle AMB= \frac{\frac{5a^2}{3}}{\frac{a^2\sqrt{50}}{3}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt2}.$$

Следовательно,

$$\angle AMB=45^\circ.$$

Ответ: $$45^\circ$$.