Упр.1268 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года. Постройте прямую $$a_1$$, которая получается из данной прямой $$a$$ поворотом вокруг точки $$O$$ на угол $$60^\circ$$ по часовой стрелке, если прямая $$a$$: а) не проходит через точку $$O$$; б) проходит через точку $$O$$.
Задание учебника 2023 года. Пусть $$A$$ и $$B$$ — данные точки, $$k$$ — данное положительное число, не равное $$1$$. а) Докажите, что множество всех точек $$M$$, удовлетворяющих условию $$AM=kBM$$, есть окружность (окружность Аполлония). б) Докажите, что эта окружность пересекается с любой окружностью, проходящей через точки $$A$$ и $$B$$, так, что их радиусы, проведённые в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.

Подробный ответ

Пусть прямая $$a$$ задана. Возьмём на ней любые две точки $$A$$ и $$B$$ и повернём их вокруг точки $$O$$ на угол $$60^\circ$$ по часовой стрелке. Образы точек обозначим через $$A_1$$ и $$B_1$$.

При повороте сохраняются расстояния и принадлежность точек прямой: если $$A,B \in a$$, то их образы $$A_1,B_1$$ лежат на образе прямой $$a_1$$. Значит, прямая $$a_1$$ проходит через точки $$A_1$$ и $$B_1$$.

Построение зависит от положения точки $$O$$.

Если $$O \notin a$$, то строим отрезки $$OA$$ и $$OB$$, откладываем от лучей $$OA$$ и $$OB$$ углы $$60^\circ$$ по часовой стрелке и на полученных лучах отмечаем точки $$A_1$$ и $$B_1$$ так, чтобы $$OA_1=OA$$ и $$OB_1=OB$$. Тогда прямая $$A_1B_1$$ и есть искомая $$a_1$$.
Если $$O \in a$$, то достаточно взять любую точку $$A \in a$$, построить точку $$A_1$$ так, чтобы $$OA_1=OA$$ и $$\angle AOA_1=60^\circ$$, после чего провести прямую $$OA_1$$. Это и будет образ прямой $$a$$ при повороте.

Итак, искомая прямая получается поворотом данной прямой вокруг точки $$O$$ на угол $$60^\circ$$ по часовой стрелке.