Упр.1268 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Постройте прямую а1, которая получается из данной прямой а поворотом вокруг точки О на угол 60° по часовой стрелке, если прямая а: а) не проходит через точку О; б) проходит через точку О. Пусть А и В — данные точки, k — данное положительное число, не равное 1. а) Докажите, что множество всех точек М, удовлетворяющих условию AM = kBM, есть окружность (окружность Аполлония). б) Докажите, что эта окружность пересекается с любой окружностью, проходящей через точки А и В, так, что их радиусы, проведённые в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.

а) Возьмём на прямой $$a$$ любые две точки $$A$$ и $$B$$. Построим окружности с центрами в точке $$O$$ и радиусами $$OA$$ и $$OB$$. На этих окружностях отметим точки $$A_1$$ и $$B_1$$ так, чтобы

$$\angle AOA_1=60^\circ,\qquad \angle BOB_1=60^\circ,$$

причём поворот выполняется по часовой стрелке. Тогда точки $$A_1$$ и $$B_1$$ — образы точек $$A$$ и $$B$$ при данном повороте. Следовательно, прямая, проходящая через $$A_1$$ и $$B_1$$, и есть искомая прямая $$a_1$$.

Если прямая $$a$$ проходит через точку $$O$$, то достаточно взять на ней любую точку $$A$$, построить точку $$A_1$$ так, чтобы $$OA_1=OA$$ и $$\angle AOA_1=60^\circ$$, а затем провести прямую $$a_1$$ через точки $$O$$ и $$A_1$$.

б) Пусть $$A(0;0)$$, $$B(a;0)$$, где $$a>0$$, а точка $$M(x;y)$$ удовлетворяет условию

$$AM=k\,BM,\qquad k>0,\ k\ne 1.$$

Тогда

$$AM^2=x^2+y^2,\qquad BM^2=(x-a)^2+y^2.$$

Из условия получаем

$$x^2+y^2=k^2\bigl((x-a)^2+y^2\bigr).$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$x^2-k^2(x-a)^2+(1-k^2)y^2=0,$$

$$x^2-2k^2ax+k^2a^2+(1-k^2)y^2=0.$$

Так как $$k\ne 1$$, разделим на $$1-k^2$$ и дополним до квадрата:

$$x^2+2\frac{k^2a}{1-k^2}x+y^2=\frac{k^2a^2}{1-k^2}.$$

Тогда

$$\left(x+\frac{k^2a}{1-k^2}\right)^2+y^2=\left(\frac{ka}{1-k^2}\right)^2.$$

Это уравнение окружности. Значит, множество всех точек $$M$$, для которых $$AM=k\,BM$$, есть окружность Аполлония.

б) Пусть $$O_1$$ — любая окружность, проходящая через точки $$A$$ и $$B$$, а $$E$$ — точка её пересечения с окружностью Аполлония. Обозначим через $$C$$ и $$D$$ центры этих окружностей.

Так как $$O_1$$ проходит через $$A$$ и $$B$$, то её центр $$D$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$. Следовательно, в выбранной системе координат

$$D\left(\frac a2;y_D\right).$$

Для окружности Аполлония центр имеет вид

$$C\left(-\frac{k^2a}{1-k^2};0\right),$$

а её радиус равен

$$CE=\frac{ka}{|1-k^2|}.$$

Радиус окружности $$O_1$$ равен

$$DE=\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+y_D^2}.$$

Вычислим расстояние между центрами:

$$CD^2=\left(\frac a2+\frac{k^2a}{1-k^2}\right)^2+y_D^2.$$

После преобразования получаем

$$CD^2=\left(\frac a2\right)^2+y_D^2+\left(\frac{k^2a}{1-k^2}\right)^2.$$

Но

$$CE^2=\left(\frac{ka}{1-k^2}\right)^2,\qquad DE^2=\left(\frac a2\right)^2+y_D^2,$$

поэтому

$$CE^2+DE^2=CD^2.$$

Следовательно, треугольник $$CED$$ прямоугольный, то есть

$$\angle CED=90^\circ.$$

Значит, радиусы, проведённые в точку пересечения окружностей, взаимно перпендикулярны.

Ответ

а) Искомая прямая получается поворотом прямой $$a$$ вокруг точки $$O$$ на $$60^\circ$$ по часовой стрелке; если $$O\in a$$, то новая прямая проходит через $$O$$ и образ точки любой точки прямой $$a$$ при этом повороте.
б) Множество точек $$M$$, для которых $$AM=k\,BM$$, есть окружность Аполлония.
в) Эта окружность пересекает любую окружность, проходящую через $$A$$ и $$B$$, под прямым углом.