Упр.1267 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Постройте окружность, которая получается из данной окружности с центром С поворотом вокруг точки О на угол 60° против часовой стрелки, если: а) точки О и С не совпадают; б) точки О и С совпадают. Точка О не лежит на данной окружности. Для каждой точки М1 окружности на луче OM1 взята такая точка М, что ОМ = k x OM1, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек М.

а) При повороте на $$60^\circ$$ вокруг точки $$O$$ каждая точка окружности переходит в точку, находящуюся на том же расстоянии от $$O$$, что и исходная, а вся окружность — в окружность того же радиуса. Центр $$C$$ переходит в точку $$C_1$$, для которой

$$OC_1=OC,\qquad \angle COC_1=60^\circ.$$

Значит, искомая окружность имеет центр в точке $$C_1$$ и тот же радиус, что и данная окружность.

б) Если $$O$$ и $$C$$ совпадают, то поворот вокруг центра окружности не изменяет её: каждая точка окружности переходит в точку той же окружности. Следовательно, искомая окружность совпадает с данной.

в) Пусть дана окружность $$O(C,r)$$, точка $$M_1$$ лежит на окружности, а точка $$M$$ взята на луче $$OM_1$$ так, что

$$OM=k\cdot OM_1,\qquad k>0.$$

Обозначим координаты точки $$M_1$$ через $$\left(x_1,y_1\right)$$, а точки $$M$$ — через $$\left(x,y\right)$$. Тогда из условия подобия по лучу $$OM_1$$ получаем

$$x=kx_1,\qquad y=ky_1.$$

Так как $$M_1$$ лежит на окружности, то

$$x_1^2+\left(y_1-c\right)^2=r^2.$$

Подставим $$x_1=\dfrac{x}{k}$$, $$y_1=\dfrac{y}{k}$$:

$$ \left(\frac{x}{k}\right)^2+\left(\frac{y}{k}-c\right)^2=r^2 $$

Умножим на $$k^2$$:

$$ x^2+\left(y-kc\right)^2=(kr)^2. $$

Это уравнение окружности с центром в точке $$\left(0,kc\right)$$ и радиусом $$kr$$. Значит, множество всех точек $$M$$ — окружность, полученная из данной гомотетией с центром в $$O$$ и коэффициентом $$k$$.

Ответ

а) окружность с центром $$C_1$$, где $$OC_1=OC$$ и $$\angle COC_1=60^\circ$$, радиус тот же;
б) исходная окружность;
в) окружность с центром в точке, лежащей на луче $$OC$$ и удалённой от $$O$$ в $$k$$ раз дальше, чем центр исходной окружности, радиус $$kr$$.