Упр.1266 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90° квадрат отображается на себя. Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. Для каждой точки Мх прямой а на луче АМ1 взята такая точка М, что АМ1 x AM = k, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек М.

1. Пусть квадрат $$ABCD$$ имеет центр в точке $$O$$ — это точка пересечения его диагоналей. Тогда $$O$$ является центром описанной окружности квадрата, так как все вершины квадрата лежат на одной окружности с центром в $$O$$.

2. При повороте на $$90^\circ$$ вокруг точки $$O$$ каждая вершина квадрата переходит в соседнюю вершину: $$A \to B,\; B \to C,\; C \to D,\; D \to A$$. Значит, квадрат совмещается сам с собой.

3. Теперь рассмотрим множество точек $$M$$, для которых для каждой точки $$M_1 \in a$$ на луче $$AM_1$$ выбрана точка $$M$$ так, что $$AM_1 \cdot AM = k$$, где $$k>0$$.

Выберем систему координат так, чтобы прямая $$a$$ совпадала с осью $$Ox$$, а точка $$A$$ имела координаты $$A(0;a)$$. Пусть $$M_1(m;0)$$, а искомая точка $$M(x;y)$$.

Тогда

$$AM_1=\sqrt{a^2+m^2}, \qquad AM=\sqrt{x^2+(y-a)^2}.$$

По условию

$$AM_1 \cdot AM = k,$$

то есть

$$\sqrt{a^2+m^2}\cdot \sqrt{x^2+(y-a)^2}=k.$$

После возведения в квадрат получаем

$$\left(a^2+m^2\right)\left(x^2+(y-a)^2\right)=k^2,$$

откуда

$$x^2+(y-a)^2=\frac{k^2}{a^2+m^2}.$$

Это уравнение окружности с центром в точке $$A(0;a)$$.

Ответ

При повороте квадрата вокруг точки пересечения диагоналей на $$90^\circ$$ квадрат отображается на себя. Множество точек $$M$$ — окружность с центром в точке $$A$$.