Упр.1266 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол $$90^\circ$$ квадрат отображается на себя.
2. Даны прямая $$a$$ и точка $$A$$, не лежащая на ней. Для каждой точки $$M_1$$ прямой $$a$$ на луче $$AM_1$$ взята такая точка $$M$$, что $$AM_1 \cdot AM = k$$, где $$k$$ — данное положительное число. Найдите множество всех точек $$M$$.

Пусть точка $$A$$ имеет координаты $$A(0;a)$$, а прямая $$a$$ совпадает с осью $$Ox$$. Тогда для любой точки $$M_1(x;0)$$ на прямой $$a$$ точка $$M$$ лежит на луче $$AM_1$$ и удовлетворяет условию

$$AM_1\cdot AM=k,\qquad k>0.$$

Пусть $$M(x;y)$$. Тогда

$$AM_1=\sqrt{a^2+x^2},$$

$$AM=\sqrt{x^2+(y-a)^2}.$$

Из условия получаем

$$\sqrt{a^2+x^2}\cdot \sqrt{x^2+(y-a)^2}=k,$$

откуда

$$\left(a^2+x^2\right)\left(x^2+(y-a)^2\right)=k^2.$$

Так как точка $$M_1$$ может быть любой на прямой $$a$$, то множество точек $$M$$ задаётся уравнением

$$x^2+(y-a)^2=\frac{k^2}{a^2+x^2}.$$

Следовательно, все такие точки $$M$$ лежат на окружности с центром в точке $$A$$.

Ответ: окружность с центром в точке $$A$$.