Упр.1265 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Точка D является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника ABC. Докажите, что при повороте вокруг точки D на угол 120° треугольник ABC отображается на себя. Даны три точки А, В, С и три числа а, b, у. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых сумма аАМ2 + bВМ2 + уСМ2 имеет постоянное значение, если: а) а + b + у=0; б) а + b + у=0.

Подробный ответ

Пусть $$D$$ — точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника $$ABC$$. Тогда в равностороннем треугольнике биссектрисы одновременно являются медианами и высотами, значит точка $$D$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$.

Следовательно, точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на окружности с центром в $$D$$, а дуги этой окружности, соответствующие сторонам равностороннего треугольника, равны между собой. Так как

$$\frac{360^\circ}{3}=120^\circ,$$

то поворот вокруг точки $$D$$ на угол $$120^\circ$$ переводит каждую вершину треугольника в следующую вершину: $$A \to B$$, $$B \to C$$, $$C \to A$$. Значит, при таком повороте треугольник $$ABC$$ отображается на себя.