Упр.1265 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точка $$D$$ является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника $$ABC$$. Докажите, что при повороте вокруг точки $$D$$ на угол $$120^\circ$$ треугольник $$ABC$$ отображается на себя.
2. Даны три точки $$A, B, C$$ и три числа $$a, b, у$$. Найдите множество всех точек $$M$$, для каждой из которых сумма $$aAM^2+bBM^2+уCM^2$$ имеет постоянное значение, если:
   а) $$a+b+у=0$$;
   б) $$a+b+у=0$$.

Пусть $$D$$ — точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника $$ABC$$. Тогда в равностороннем треугольнике биссектрисы одновременно являются медианами и высотами, значит точка $$D$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$.

Рассмотрим поворот вокруг точки $$D$$ на угол $$120^\circ$$. Так как $$ABC$$ — равносторонний треугольник, он делит описанную окружность на три равные дуги, каждая из которых равна

$$\frac{360^\circ}{3}=120^\circ.$$

Следовательно, при повороте на $$120^\circ$$ каждая вершина переходит в соседнюю вершину: $$A \to B$$, $$B \to C$$, $$C \to A$$. Значит, треугольник $$ABC$$ при таком повороте отображается на себя.

Ответ: при повороте вокруг точки $$D$$ на угол $$120^\circ$$ треугольник $$ABC$$ отображается на себя.