Упр.1264 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте треугольник, который получается из данного треугольника $$ABC$$ поворотом вокруг точки $$A$$ на угол $$150^\circ$$ против часовой стрелки.
2. Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями $$\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=4$$ и $$x^2+y^2=1$$, и вычислите длину их общей хорды.

Рассмотрим систему уравнений окружностей:

$$\begin{cases}(x-1)^2+(y-2)^2=4,\\ x^2+y^2=1.\end{cases}$$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$\begin{aligned} (x-1)^2+(y-2)^2-(x^2+y^2)&=4-1,\\ x^2-2x+1+y^2-4y+4-x^2-y^2&=3,\\ -2x-4y+2&=0. \end{aligned}$$

Отсюда

$$y=\frac{-x+1}{2}.$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$x^2+\left(\frac{-x+1}{2}\right)^2=1.$$

Умножим на $$4$$:

$$4x^2+(1-x)^2=4.$$

Раскроем скобки:

$$4x^2+x^2-2x+1=4,$$

$$5x^2-2x-3=0,$$

$$\left(x-1\right)\left(5x+3\right)=0.$$

Тогда

$$x_1=1,\quad x_2=-\frac35.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

при $$x_1=1$$

$$y_1=\frac{-1+1}{2}=0,$$

при $$x_2=-\frac35$$

$$y_2=\frac{-\left(-\frac35\right)+1}{2}=\frac{\frac35+1}{2}=\frac45.$$

Следовательно, точки пересечения окружностей:

$$\left(1,0\right)\quad \text{и}\quad \left(-\frac35,\frac45\right).$$

Теперь найдём длину общей хорды — это расстояние между этими точками:

$$\begin{aligned} AB&=\sqrt{\left(1+\frac35\right)^2+\left(0-\frac45\right)^2}\\ &=\sqrt{\left(\frac85\right)^2+\left(\frac45\right)^2}\\ &=\sqrt{\frac{64}{25}+\frac{16}{25}}\\ &=\sqrt{\frac{80}{25}}=\frac{4\sqrt5}{5}. \end{aligned}$$

Ответ: $$\left(-\frac35,\frac45\right),\ (1,0),\ \frac{4\sqrt5}{5}.$$