Упр.1263 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Постройте отрезок А1B1, который получается из данного отрезка АВ поворотом вокруг данного центра О: а) на 120° по часовой стрелке; б) на 75° против часовой стрелки; в) на 180°. Докажите, что: а) уравнение Ах + By + С = 0, где А и В одновременно не равны нулю, является уравнением прямой; б) уравнение х2-ху- 2 = 0 не является уравнением окружности.

Подробный ответ

а) При повороте вокруг точки $$O$$ на заданный угол сохраняются расстояния до центра поворота. Поэтому нужно построить точки $$A_1$$ и $$B_1$$ так, чтобы выполнялось:

$$OA_1=OA,\quad OB_1=OB,$$

а также

$$\angle AOA_1=120^\circ$$ — по часовой стрелке, $$\angle BOB_1=120^\circ$$ — по часовой стрелке.

Соединим точки $$A_1$$ и $$B_1$$. Получим искомый отрезок $$A_1B_1$$.

Аналогично строится отрезок при повороте на $$75^\circ$$ против часовой стрелки: отмечаем точки $$A_1$$ и $$B_1$$ на расстояниях $$OA$$ и $$OB$$ от точки $$O$$ так, чтобы

$$\angle AOA_1=75^\circ,\quad \angle BOB_1=75^\circ,$$

после чего соединяем $$A_1$$ и $$B_1$$.

При повороте на $$180^\circ$$ точки $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат на прямых $$AO$$ и $$BO$$ по другую сторону от точки $$O$$, причём

$$OA_1=OA,\quad OB_1=OB.$$

То есть $$O$$ является серединой отрезков $$AA_1$$ и $$BB_1$$.

б) Докажем, что уравнение $$Ax+By+C=0$$, где $$A$$ и $$B$$ одновременно не равны нулю, задаёт прямую.

Если $$B\neq 0$$, то из уравнения получаем

$$y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B},$$

а это уравнение прямой с угловым коэффициентом $$-\frac{A}{B}$$.

Если $$B=0$$, то тогда $$A\neq 0$$ и уравнение принимает вид

$$Ax+C=0,\quad x=-\frac{C}{A},$$

что также является уравнением прямой, параллельной оси $$Oy$$.