Упр.1260 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны равнобедренный треугольник $$ABC$$ с основанием $$AC$$ и такая точка $$D$$ на прямой $$AC$$, что точка $$C$$ лежит на отрезке $$AD$$.
а) Постройте отрезок $$B_1D$$, который получается из отрезка $$BC$$ параллельным переносом на вектор $$\overrightarrow{CD}$$.
б) Докажите, что четырёхугольник $$ABB_1D$$ — равнобедренная трапеция. - В треугольнике $$ABC$$ $$AC=9\text{ см}$$, $$BC=12\text{ см}$$. Медианы $$AM$$ и $$BN$$ взаимно перпендикулярны. Найдите $$AB$$.
Рассмотрим координатную плоскость и выберем точки $$A(0;0)$$, $$C(9;0)$$. Пусть $$B(x;y)$$, где $$y>0$$.
Так как $$AM$$ и $$BN$$ — медианы, то
$$N\left(\frac{9}{2};0\right), \qquad M\left(\frac{x+9}{2};\frac{y}{2}\right).$$
По условию $$AM \perp BN$$, значит их скалярное произведение равно нулю:
$$\left(\frac{x+9}{2};\frac{y}{2}\right)\cdot\left(\frac{9}{2}-x;-y\right)=0.$$
Отсюда
$$\frac{(x+9)(9-2x)}{4}-\frac{y^2}{2}=0,$$
$$2(x+9)(9-2x)-4y^2=0,$$
$$x^2+\frac{9}{2}x-\frac{81}{2}+y^2=0,$$
$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^2+y^2=\frac{729}{16}.$$
Кроме того, точка $$B$$ лежит на окружности с центром в $$C$$ и радиусом $$BC=12$$, поэтому
$$(x-9)^2+y^2=144.$$
Решим систему:
$$\begin{cases} (x-9)^2+y^2=144,\\ \left(x+\frac{9}{4}\right)^2+y^2=\frac{729}{16}. \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$(x-9)^2-\left(x+\frac{9}{4}\right)^2=144-\frac{729}{16}.$$
$$\left(x-9-x-\frac{9}{4}\right)\left(x-9+x+\frac{9}{4}\right)=\frac{2304-729}{16}.$$
$$-\frac{45}{4}\left(2x-\frac{27}{4}\right)=\frac{1575}{16}.$$
$$-45(8x-27)=1575.$$
$$8x-27=-35,\qquad 8x=-8,\qquad x=-1.$$
Тогда
$$y^2=144-(x-9)^2=144-100=44,$$
$$y=2\sqrt{11}.$$
Следовательно, $$B(-1;2\sqrt{11})$$.
Теперь найдём $$AB$$:
$$AB=\sqrt{(-1)^2+(2\sqrt{11})^2}=\sqrt{1+44}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.$$
Ответ: $$3\sqrt{5}\text{ см}$$.
