Упр.1259 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Начертите треугольник $$ABC$$, вектор $$\overrightarrow{MM_1}$$, который не параллелен ни одной из сторон треугольника, и вектор $$\vec a$$, параллельный стороне $$AC$$. Постройте треугольник $$A_1B_1C_1$$, который получается из треугольника $$ABC$$ параллельным переносом: а) на вектор $$\overrightarrow{MM_1}$$; б) на вектор $$\vec a$$.
- Задание учебника 2023 года. Вершины треугольника $$ABC$$ имеют координаты $$A(-3; 0)$$, $$B(0; 4)$$, $$C(3; 0)$$. Биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$D$$. Найдите координаты точки $$D$$.
Пусть $$D(x;y)$$ — точка пересечения биссектрисы $$AD$$ со стороной $$BC$$.
Найдём уравнение биссектрисы угла $$A$$. Для этого используем свойство: биссектриса делит угол между сторонами в отношении их направлений, поэтому для точки $$D$$ выполняется
$$\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}}{|AB|}=\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}}{|AC|}.$$
Вычислим векторы и их длины:
$$\overrightarrow{AB}=(0-(-3);\,4-0)=(3;4),$$
$$\overrightarrow{AC}=(3-(-3);\,0-0)=(6;0),$$
$$\overrightarrow{AD}=(x+3;\,y),$$
$$|AB|=\sqrt{3^2+4^2}=5,\qquad |AC|=6.$$
Тогда
$$\frac{(x+3)\cdot 3+y\cdot 4}{5}=\frac{(x+3)\cdot 6+y\cdot 0}{6}.$$
Отсюда
$$3(x+3)+4y=5(x+3),$$
$$4y=2(x+3),$$
$$y=\frac12(x+3).$$
Теперь найдём уравнение стороны $$BC$$. Прямая проходит через точки $$B(0;4)$$ и $$C(3;0)$$, значит её уравнение:
$$\frac{x-0}{3-0}=\frac{y-4}{0-4},$$
$$4x=-3(y-4),$$
$$y=-\frac43x+4.$$
Точка $$D$$ лежит и на биссектрисе, и на стороне $$BC$$, значит её координаты удовлетворяют системе:
$$\begin{cases} y=\frac12(x+3),\\ y=-\frac43x+4. \end{cases}$$
Приравняем правые части:
$$\frac12(x+3)=-\frac43x+4,$$
$$\left(\frac12+\frac43\right)x=4-\frac32,$$
$$\frac{11}{6}x=\frac52,$$
$$x=\frac{15}{11}.$$
Тогда
$$y=\frac12\left(\frac{15}{11}+3\right)=\frac12\cdot\frac{48}{11}=\frac{24}{11}.$$
Следовательно,
$$D\left(\frac{15}{11};\frac{24}{11}\right)$$.
Ответ: $$\left(\frac{15}{11};\frac{24}{11}\right)$$.
