Упр.1255 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что последовательное выполнение двух движений плоскости является движением плоскости.
2. В каком отношении находятся объёмы двух шаров, если площади их поверхностей относятся как $$m^2:n^2$$?

Пусть радиусы шаров равны $$r$$ и $$R$$. Тогда площади их поверхностей равны

$$S_1=4\pi r^2,\qquad S_2=4\pi R^2.$$

По условию

$$S_2:S_1=m^2:n^2,$$

значит,

$$\frac{S_2}{S_1}=\frac{4\pi R^2}{4\pi r^2}=\left(\frac{R}{r}\right)^2=\frac{m^2}{n^2}.$$

Отсюда

$$\frac{R}{r}=\frac{m}{n}.$$

Теперь найдём отношение объёмов шаров:

$$V_1=\frac{4}{3}\pi r^3,\qquad V_2=\frac{4}{3}\pi R^3,$$

поэтому

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{4\pi R^3/3}{4\pi r^3/3}=\left(\frac{R}{r}\right)^3=\left(\frac{m}{n}\right)^3.$$

Следовательно,

$$V_2:V_1=m^3:n^3.$$

Ответ: $$m^3:n^3$$.