Упр.125 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведена медиана $$BD$$. На сторонах $$AB$$ и $$CB$$ отмечены соответственно точки $$E$$ и $$F$$ так, что $$AE=CF$$. Докажите, что: а) треугольник $$BDE$$ равен треугольнику $$BDF$$; б) треугольник $$ADE$$ равен треугольнику $$CDF$$.
2. На рисунке 74 $$\angle DAC=\angle DBC$$, $$AO=BO$$. Докажите, что $$\angle C=\angle D$$ и $$AC=BD$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$AB=BC$$. Поскольку $$BD$$ — медиана, имеем $$AD=DC$$. Кроме того, в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой, значит, $$\angle ADB=\angle BDC$$ и $$\angle EBD=\angle DBF$$.

а)

Рассмотрим треугольники $$BDE$$ и $$BDF$$.

Имеем:

• $$BD$$ — общая сторона;
• $$\angle EBD=\angle DBF$$, так как $$BD$$ — биссектриса угла $$ABC$$;
• $$BE=BF$$, поскольку $$BE=AB-AE$$, $$BF=BC-CF$$, а $$AB=BC$$ и $$AE=CF$$.

Следовательно, $$\triangle BDE \cong \triangle BDF$$ по двум сторонам и углу между ними.

б)

Рассмотрим треугольники $$ADE$$ и $$CDF$$.

Имеем:

• $$AD=DC$$, так как $$BD$$ — медиана;
• $$AE=CF$$ по условию;
• $$\angle DAE=\angle DCF$$, потому что $$\angle DAB=\angle BCA$$ как углы при основании равнобедренного треугольника, а точки $$E$$ и $$F$$ лежат соответственно на $$AB$$ и $$CB$$.

Следовательно, $$\triangle ADE \cong \triangle CDF$$ по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: $$\triangle BDE \cong \triangle BDF$$, $$\triangle ADE \cong \triangle CDF$$.