Упр.1249 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ $$AB=A_1B_1$$, $$AC=A_1C_1$$, $$BC=B_1C_1$$. Докажите, что существует движение, при котором точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ отображаются в точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$, и притом только одно.
2. Задание учебника 2023 года. Высота конуса равна $$12\text{ см}$$, а его объём равен $$324\pi\text{ см}^3$$. Найдите дугу развёртки боковой поверхности этого конуса.

Обозначим искомое движение через $$g$$.

Так как $$AB=A_1B_1,$$ $$BC=B_1C_1,$$ $$AC=A_1C_1,$$ то треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны по трём сторонам. Значит, существует наложение, при котором $$A\mapsto A_1,$$ $$B\mapsto B_1,$$ $$C\mapsto C_1.$$ Это наложение является движением, следовательно, искомое движение существует.

Докажем, что оно единственно.

Пусть существует ещё одно движение, переводящее $$A$$ в $$A_1,$$ $$B$$ в $$B_1,$$ $$C$$ в $$C_1.$$ Рассмотрим точку $$O$$ — центр окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. Тогда при движении она перейдёт в точку $$O_1$$ — центр окружности, описанной около треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Но у равных треугольников радиусы описанных окружностей равны, а центр описанной окружности у каждого треугольника единственный. Значит, точка $$O$$ однозначно переходит в $$O_1,$$ и вместе с образами трёх вершин это полностью определяет движение.

Следовательно, движение, при котором $$A\mapsto A_1,$$ $$B\mapsto B_1,$$ $$C\mapsto C_1,$$ существует и притом только одно.