Упр.1248 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ — произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ отображаются в точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$.
2. Высота конуса равна $$5\ \text{см}$$. На расстоянии $$2\ \text{см}$$ от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём отсекаемого от него конуса равен $$24\ \text{см}^3$$.

Проведём осевое сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину и ось конуса. Получим два подобных треугольника: большой с высотой $$H=5$$ см и малый с высотой $$h=2$$ см.

Так как секущая плоскость параллельна основанию, то соответствующие радиусы оснований относятся так же, как высоты:

$$\frac{r}{R}=\frac{h}{H}=\frac{2}{5}.$$

Следовательно, коэффициент подобия большого и малого конусов равен

$$k=\frac{H}{h}=\frac{5}{2}.$$

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:

$$\frac{V}{24}=k^3=\left(\frac{5}{2}\right)^3.$$

Тогда

$$V=24\cdot \left(\frac{5}{2}\right)^3=24\cdot \frac{125}{8}=375.$$

Ответ: $$375\text{ см}^3$$.