Упр.1245 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.
2. Свинцовая труба (плотность свинца равна $$11{,}4\ \text{г/см}^3$$) с толщиной стенок $$4\ \text{мм}$$ имеет внутренний диаметр $$13\ \text{мм}$$. Какова масса трубы, если её длина равна $$25\ \text{м}$$?

При движении сохраняются длины отрезков и величины углов. Поэтому достаточно проверить, что у образа сохраняются те же свойства, которые определяют данную фигуру.

а) Параллелограмм

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм и при движении точки переходят в точки $$A_1, B_1, C_1, D_1$$. Тогда

$$AB=CD,\quad BC=AD$$

по свойству параллелограмма. Так как движение сохраняет длины, то

$$A_1B_1=AB=CD=C_1D_1,$$

$$B_1C_1=BC=AD=A_1D_1.$$

Следовательно, у четырёхугольника $$A_1B_1C_1D_1$$ противоположные стороны попарно равны, значит, это параллелограмм.

б) Трапеция

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$AD \parallel BC$$. Отметим на стороне $$AD$$ точку $$K$$ так, что $$AK=BC$$. Тогда, так как $$AK \parallel BC$$ и $$AK=BC$$, четырёхугольник $$ABCK$$ — параллелограмм.

Из этого следует, что

$$AB=CK,\quad BC=AK.$$

При движении получаем

$$A_1B_1=AB=CK=C_1K_1,$$

$$B_1C_1=BC=AK=A_1K_1.$$

Значит, четырёхугольник $$A_1B_1C_1K_1$$ — параллелограмм, откуда $$A_1K_1 \parallel B_1C_1$$. Так как $$K_1 \in A_1D_1$$, то $$A_1D_1$$ и $$B_1C_1$$ параллельны, следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — трапеция.

в) Ромб

Пусть $$ABCD$$ — ромб. Тогда

$$AB=BC=CD=DA.$$

При движении длины сохраняются, значит

$$A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1A_1.$$

Следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — ромб.

г) Прямоугольник и квадрат

Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник. Тогда

$$AB=CD,\quad BC=AD,\quad \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ.$$

Движение сохраняет длины и углы, поэтому

$$A_1B_1=C_1D_1,\quad B_1C_1=A_1D_1,$$

а все углы четырёхугольника $$A_1B_1C_1D_1$$ равны $$90^\circ$$. Значит, это прямоугольник.

Если же $$ABCD$$ — квадрат, то дополнительно $$AB=BC$$. Тогда после движения

$$A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1A_1,$$

и все углы остаются прямыми. Следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — квадрат.