Упр.1241 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что при центральной симметрии плоскости: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами $$5\ \text{м}$$ и $$4\ \text{м}$$ и меньшей диагональю $$3\ \text{м}$$. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна $$2\ \text{м}$$. Найдите площадь поверхности пирамиды, то есть сумму площадей всех её граней.

Подробный ответ

Пусть основание пирамиды — параллелограмм $$ABCD$$, а точка $$H$$ — точка пересечения его диагоналей. Тогда $$PH=2$$ м, $$AB=5$$ м, $$AD=4$$ м, $$BD=3$$ м.

Найдём площадь основания. Диагональ $$BD$$ делит параллелограмм на два равных треугольника, причём в треугольнике $$ADB$$ угол $$\angle ADB=90^\circ$$, так как

$$AB^2=AD^2+BD^2=4^2+3^2=25.$$

Значит,

$$S_{ABCD}=2S_{\triangle ADB}=2\cdot \frac12 \cdot AD \cdot BD=2\cdot \frac12 \cdot 4 \cdot 3=12\ \text{м}^2.$$

Так как высота пирамиды проходит через точку $$H$$, то $$PH\perp (ABCD)$$. Поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, имеем

$$DH=\frac{BD}{2}=\frac32.$$

В прямоугольном треугольнике $$DPH$$:

$$DP=\sqrt{DH^2+PH^2}=\sqrt{\left(\frac32\right)^2+2^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac52.$$

Аналогично, если обозначить $$AC$$ вторую диагональ параллелограмма, то из свойства диагоналей и равенства соответствующих треугольников получаем, что боковые грани попарно равны: $$\triangle APD \cong \triangle CPD$$ и $$\triangle APB \cong \triangle CPB$$. Поэтому достаточно найти площади двух различных боковых граней и удвоить их.

Найдём сначала $$AP$$. В прямоугольном треугольнике $$APH$$:

$$AH=\frac{AC}{2}.$$

Из прямоугольного треугольника $$ADB$$:

$$AC^2=2(AB^2+AD^2)-BD^2=2(25+16)-9=73,$$

значит

$$AH=\frac{\sqrt{73}}{2}.$$

Тогда

$$AP=\sqrt{AH^2+PH^2}=\sqrt{\frac{73}{4}+4}=\sqrt{\frac{89}{4}}=\frac{\sqrt{89}}{2}.$$

Теперь найдём площадь грани $$\triangle APB$$ по формуле через две стороны и угол между ними. Сначала вычислим $$\cos \angle PAB$$ в треугольнике $$APB$$:

$$\cos \angle PAB=\frac{AP^2+AB^2-BP^2}{2\cdot AP\cdot AB} =\frac{\frac{89}{4}+25-\frac{25}{4}}{2\cdot \frac{\sqrt{89}}{2}\cdot 5} =\frac{41}{5\sqrt{89}}.$$

Тогда

$$\sin \angle PAB=\sqrt{1-\cos^2 \angle PAB} =\sqrt{1-\frac{41^2}{25\cdot 89}} =\frac{4\sqrt{34}}{5\sqrt{89}}.$$

Следовательно,

$$S_{\triangle APB}=\frac12 \cdot AP \cdot AB \cdot \sin \angle PAB =\frac12 \cdot \frac{\sqrt{89}}{2}\cdot 5 \cdot \frac{4\sqrt{34}}{5\sqrt{89}} =\sqrt{34}\ \text{м}^2.$$

Площадь грани $$\triangle APD$$:

$$S_{\triangle APD}=\frac12 \cdot AD \cdot DP =\frac12 \cdot 4 \cdot \frac52 =5\ \text{м}^2.$$

Тогда площадь всей поверхности пирамиды равна

$$S_{\text{полн}}=S_{ABCD}+2S_{\triangle APD}+2S_{\triangle APB} =12+2\cdot 5+2\cdot \sqrt{34} =22+2\sqrt{34}\ \text{м}^2.$$