Упр.1240 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что при осевой симметрии плоскости: а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии; б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.
2. Изобразите тетраэдр $$DABC$$, отметьте точку $$K$$ на ребре $$DC$$ и точки $$M$$ и $$N$$ граней $$ABC$$ и $$ACD$$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью $$MNK$$.

Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой $$l$$.

а)

Пусть прямая $$a \parallel l$$. Возьмём на ней произвольные точки $$A$$ и $$B$$ и обозначим их образы при симметрии через $$A’$$ и $$B’$$.

Так как при осевой симметрии сохраняются расстояния, то

$$AA’ \perp l,\qquad BB’ \perp l,\qquad AA’=BB’.$$

Поскольку $$a \parallel l$$, то отрезки $$AA’$$ и $$BB’$$ перпендикулярны одной и той же прямой $$l$$, значит, они параллельны между собой. Следовательно, четырёхугольник $$AA’B’B$$ — прямоугольник, а значит,

$$A’B’ \parallel AB.$$

Но $$AB \subset a$$, поэтому образ прямой $$a$$ есть прямая $$a’$$, параллельная $$a$$, а значит и оси симметрии $$l$$.

Итак, если $$a \parallel l$$, то $$a’ \parallel l$$.

б)

Пусть теперь прямая $$a \perp l$$. Возьмём на ней произвольную точку $$A$$ и обозначим её образ через $$A’$$.

Так как при осевой симметрии точка переходит в точку, лежащую на перпендикуляре к оси симметрии, проведённом через исходную точку, то

$$AA’ \perp l.$$

Но прямая $$a$$ тоже перпендикулярна $$l$$ и проходит через точку $$A$$. Через точку $$A$$ к прямой $$l$$ можно провести только одну перпендикулярную прямую, значит, точка $$A’$$ лежит на той же прямой $$a$$.

Следовательно, каждая точка прямой $$a$$ при симметрии переходит в точку этой же прямой, то есть прямая $$a$$ отображается на себя.

Итак, если $$a \perp l$$, то $$a’ = a$$.