Упр.1237 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны два круга. Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей данных кругов. Найдите объём куба ABCDA1B1C1D1, если: а) АС= 12 см; б) АС1 = 3корень2; в) DE = 1 см, где Е — середина ребра АВ.

Пусть радиусы данных кругов равны $$R_1$$ и $$R_2$$. Тогда площадь искомого круга должна быть равна

$$S=S_1+S_2=\pi R_1^2+\pi R_2^2=\pi\left(R_1^2+R_2^2\right).$$

Если радиус искомого круга равен $$R$$, то

$$\pi R^2=\pi\left(R_1^2+R_2^2\right),$$

откуда

$$R^2=R_1^2+R_2^2,\qquad R=\sqrt{R_1^2+R_2^2}.$$

Значит, нужно построить прямоугольный треугольник с катетами, равными радиусам данных кругов, а гипотенуза этого треугольника будет радиусом искомого круга.

Построение:

1. Построить отрезок $$O_1A_1$$, равный радиусу первого круга, и отрезок $$O_2A_2$$, равный радиусу второго круга.
2. В точке $$A_2$$ восстановить перпендикуляр к прямой $$O_2A_2$$.
3. На этом перпендикуляре отложить отрезок $$A_2O$$, равный $$O_1A_1$$.
4. Соединить точки $$O_2$$ и $$O$$.
5. Построить окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OO_2$$.

Для куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ обозначим ребро через $$a$$.

а) Диагональ грани куба:

$$AC=a\sqrt{2}.$$

Тогда

$$a=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}\ \text{см}.$$

Объём куба:

$$V=a^3=(6\sqrt{2})^3=432\sqrt{2}\ \text{см}^3.$$

б) Диагональ куба:

$$AC_1=a\sqrt{3}.$$

Тогда

$$a=\frac{AC_1}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}.$$

Объём куба:

$$V=a^3=(\sqrt{6})^3=6\sqrt{6}.$$

в) Пусть $$E$$ — середина ребра $$AB$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ADE$$

$$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{5a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$$

По условию $$DE=1$$, значит

$$\frac{a\sqrt{5}}{2}=1,\qquad a=\frac{2}{\sqrt{5}}.$$

Тогда

$$V=a^3=\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3=\frac{8}{5\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{25}\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$R=\sqrt{R_1^2+R_2^2}$$; а) $$432\sqrt{2}\ \text{см}^3$$; б) $$6\sqrt{6}$$; в) $$\frac{8\sqrt{5}}{25}\ \text{см}^3$$.