Упр.1236 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого равна данному отрезку Сумма площадей трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм2, а его рёбра пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найдите диагональ параллелепипеда.

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, так:

$$AB=DC=A_1B_1=D_1C_1=a,$$

$$AD=BC=A_1D_1=B_1C_1=b,$$

$$AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=c.$$

По условию рёбра пропорциональны числам $$3,7,8$$, значит можно положить

$$c=3x,\quad a=7x,\quad b=8x.$$

Сумма площадей трёх граней, имеющих общую вершину, равна

$$ab+ac+bc=404.$$

Подставим выражения для рёбер:

$$7x\cdot 8x+7x\cdot 3x+8x\cdot 3x=404,$$

$$56x^2+21x^2+24x^2=404,$$

$$101x^2=404,$$

$$x^2=4,\quad x=2.$$

Тогда

$$a=14\text{ дм},\quad b=16\text{ дм},\quad c=6\text{ дм}.$$

Диагональ прямоугольного параллелепипеда найдём по формуле:

$$AC_1=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$

Подставим значения:

$$AC_1=\sqrt{14^2+16^2+6^2}=\sqrt{196+256+36}=\sqrt{488}=2\sqrt{122}.$$

Ответ

$$2\sqrt{122}\text{ дм}$$