Упр.1235 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу 2, п. 65). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников.
- Изобразите параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и постройте его сечение плоскостью $$BKL$$, где $$K$$ — середина ребра $$AA_1$$, а $$L$$ — середина ребра $$CC_1$$. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.
Рассмотрим треугольники $$\triangle AHC$$ и $$\triangle CHB$$. Они подобны, так как оба прямоугольные и имеют общий острый угол при вершине $$C$$.
Пусть коэффициент подобия этих треугольников равен $$k$$. Тогда для их площадей имеем
$$\frac{S_{AHC}}{S_{CHB}}=k^2.$$
С другой стороны, площадь треугольника выражается через радиус вписанной окружности:
$$S_{AHC}=\frac12 P_{AHC}\,r_1,$$
$$S_{CHB}=\frac12 P_{CHB}\,r_2,$$
где $$r_1$$ и $$r_2$$ — радиусы вписанных окружностей в треугольники $$AHC$$ и $$CHB$$ соответственно.
Так как подобные треугольники имеют периметры, относящиеся как коэффициент подобия, то
$$\frac{P_{AHC}}{P_{CHB}}=k.$$
Подставим это в отношение площадей:
$$k^2=\frac{S_{AHC}}{S_{CHB}}=\frac{\frac12 P_{AHC}r_1}{\frac12 P_{CHB}r_2}=k\cdot \frac{r_1}{r_2}.$$
Отсюда
$$k=\frac{r_1}{r_2}.$$
Длины окружностей, вписанных в эти треугольники, равны
$$C_1=2\pi r_1,\qquad C_2=2\pi r_2.$$
Следовательно,
$$\frac{C_1}{C_2}=\frac{2\pi r_1}{2\pi r_2}=\frac{r_1}{r_2}=k.$$
Значит, отношение длин окружностей равно коэффициенту подобия треугольников.
Ответ
$$\frac{C_1}{C_2}=k.$$
