Упр.1233 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Фигура ограничена большими дугами двух окружностей, имеющих общую хорду, длина которой равна $$6\ \text{см}$$. Для одной окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите сумму длин этих дуг.
- Докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.
Обозначим длины дуг через $$l_1$$ и $$l_2$$.
Для первой окружности хорда $$AB=6$$ см является стороной вписанного квадрата. Тогда центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $$90^\circ$$, а радиус окружности найдём из формулы хорды:
$$AB=2R\sin\frac{90^\circ}{2}=2R\sin45^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt2}{2}=R\sqrt2.$$
Следовательно,
$$6=R\sqrt2,\qquad R=3\sqrt2\text{ см}.$$
Большая дуга этой окружности соответствует углу
$$360^\circ-90^\circ=270^\circ.$$
Тогда её длина:
$$l_1=\frac{2\pi R}{360^\circ}\cdot270^\circ =\frac{3}{4}\cdot 2\pi R =\frac{3}{2}\pi R =\frac{3}{2}\pi\cdot 3\sqrt2 =\frac{9\sqrt2\pi}{2}\text{ см}.$$
Для второй окружности та же хорда $$AB=6$$ см является стороной правильного вписанного шестиугольника. Значит, центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $$60^\circ$$, а для правильного шестиугольника сторона равна радиусу:
$$AB=R=6\text{ см}.$$
Большая дуга соответствует углу
$$360^\circ-60^\circ=300^\circ.$$
Её длина:
$$l_2=\frac{2\pi R}{360^\circ}\cdot300^\circ =\frac{5}{6}\cdot 2\pi\cdot 6 =10\pi\text{ см}.$$
Тогда сумма длин дуг равна
$$l_1+l_2=10\pi+\frac{9\sqrt2\pi}{2} =\frac{\pi}{2}(20+9\sqrt2)\text{ см}.$$
Ответ: $$\frac{\pi}{2}(20+9\sqrt2)\text{ см}$$.
