Упр.1231 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Лесной участок имеет форму круга. Чтобы обойти этот участок по опушке, идя со скоростью 4 км/ч, нужно затратить на 45 мин больше, чем для того, чтобы пересечь его по диаметру. Найдите длину опушки данного участка. Отношение объёмов двух шаров равно 8. Как относятся площади их поверхностей?
1) Пусть $$t$$ минут нужно, чтобы пересечь участок по диаметру. Тогда на обход по опушке требуется $$t+45$$ минут.
2) При скорости $$v=4$$ км/ч расстояние при пересечении равно $$vt$$, а длина опушки равна $$v(t+45)$$.
3) Так как пересечение идёт по диаметру, а обход — по окружности, получаем:
$$vt=2R,$$
$$v(t+45)=2\pi R.$$
4) Вычтем первое равенство из второго:
$$v\cdot 45=2\pi R-2R.$$
Переведём $$45$$ минут в часы:
$$45\text{ мин}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}\text{ ч}.$$
Тогда
$$4\cdot \frac{3}{4}=2\pi R-2R,$$
$$3=2R(\pi-1),$$
$$R=\frac{3}{2(\pi-1)}\approx 0{,}7\text{ км}.$$
Длина опушки:
$$C=2\pi R\approx 2\cdot 3{,}14\cdot 0{,}7=4{,}4\text{ км}.$$
5) Для шаров:
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3,\qquad S=4\pi R^2.$$
Из условия $$\frac{V_2}{V_1}=8$$, значит
$$\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3=8,$$
откуда
$$\frac{R_2}{R_1}=2.$$
Тогда отношение площадей поверхностей:
$$\frac{S_2}{S_1}=\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2=2^2=4.$$
Ответ
$$4{,}4\text{ км};\quad \frac{S_2}{S_1}=4.$$
