Упр.1230 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если: а) диагонали ромба равны $$6\ \text{см}$$ и $$8\ \text{см}$$; б) сторона ромба равна $$a$$ и острый угол равен $$a$$.
2. Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.

Пусть $$r$$ — радиус вписанной окружности ромба.

а)

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам. Тогда половины диагоналей равны $$3$$ см и $$4$$ см, а сторона ромба:

$$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ см}.$$

Площадь ромба:

$$S=\frac{6\cdot 8}{2}=24\text{ см}^2.$$

С другой стороны, для ромба $$S=pr$$, где $$p$$ — полупериметр. Здесь

$$p=\frac{4\cdot 5}{2}=10,$$

значит

$$r=\frac{S}{p}=\frac{24}{10}=2{,}4\text{ см}.$$

Длина окружности:

$$C=2\pi r=2\pi\cdot 2{,}4=4{,}8\pi\approx 15{,}1\text{ см}.$$

б)

Пусть сторона ромба равна $$a$$, а острый угол равен $$\alpha$$. Тогда площадь ромба:

$$S=a^2\sin\alpha.$$

Полупериметр ромба равен

$$p=\frac{4a}{2}=2a.$$

Так как $$S=pr$$, то

$$r=\frac{S}{p}=\frac{a^2\sin\alpha}{2a}=\frac{a}{2}\sin\alpha.$$

Следовательно, длина вписанной окружности:

$$C=2\pi r=2\pi\cdot \frac{a}{2}\sin\alpha=\pi a\sin\alpha.$$

Ответ

а) $$15{,}1\text{ см}$$; б) $$\pi a\sin\alpha$$.