Упр.123 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ на основании $$BC$$ отмечены точки $$M$$ и $$N$$ так, что $$BM=CN$$. Докажите, что:
   а) $$\triangle BAM=\triangle CAN$$;
   б) треугольник $$AMN$$ равнобедренный.
2. На биссектрисе угла $$A$$ взята точка $$D$$, а на сторонах этого угла — точки $$B$$ и $$C$$ такие, что $$\angle ADB=\angle ADC$$. Докажите, что $$BD=CD$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABM$$ и $$\triangle CAN$$.

Так как $$ABC$$ — равнобедренный, то $$AB=AC$$ и $$\angle ABC=\angle BCA$$.

Точки $$M$$ и $$N$$ лежат на основании $$BC$$, значит лучи $$BM$$ и $$CN$$ совпадают с лучами $$BC$$ и $$CB$$ соответственно. Поэтому

$$\angle ABM=\angle ABC,\qquad \angle ACN=\angle BCA.$$

По условию $$BM=CN$$. Следовательно, в треугольниках $$ABM$$ и $$CAN$$ равны две стороны и угол между ними:

$$AB=AC,\qquad BM=CN,\qquad \angle ABM=\angle ACN.$$

Значит, $$\triangle ABM \cong \triangle CAN$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$AM=AN.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AMN$$. В нём $$AM=AN$$, значит он равнобедренный.

Ответ: $$\triangle ABM \cong \triangle CAN$$, $$\triangle AMN$$ равнобедренный.