Упр.1228 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пусть $$O$$ — центр окружности, описанной около квадрата $$A_1A_2A_3A_4$$. Тогда $$OA_1=OA_2=OA_3=OA_4=R$$, а диагональ квадрата равна диаметру окружности, то есть

$$A_1A_3=2R.$$

Так как $$A_1B_1=R$$ и $$A_1C_1=R$$, то точки $$B_1$$ и $$C_1$$ делят сторону $$A_1A_2$$ на отрезки длины $$R$$ и $$A_1A_2-R$$. Обозначим

$$A_1B_1=x.$$

Тогда

$$x+R=A_1A_2.$$

Но в квадрате $$A_1A_2=A_2A_3$$, а по условию $$A_2C_2=R$$, значит

$$A_2B_2=A_2C_2=R.$$

Из равенства сторон квадрата получаем, что все отмеченные точки делят стороны одинаково, и потому

$$B_1C_1=B_2C_2=B_3C_3=B_4C_4.$$

Рассмотрим треугольник $$A_1B_1C_1$$. По теореме Пифагора

$$B_1C_1=\sqrt{A_1C_1^2-A_1B_1^2}=\sqrt{R^2-x^2}.$$

Аналогично для соседней стороны получаем

$$B_1C_2=\sqrt{R^2-(R-x)^2}.$$

Из симметрии квадрата следует, что все стороны восьмиугольника $$B_1C_3B_2C_4B_3C_1B_4C_2$$ равны, а все его углы равны, следовательно, это правильный восьмиугольник.

Найдём его сторону. Введём координаты: пусть

$$A_1(0,0),\quad A_2(R\sqrt2,0),\quad A_3(R\sqrt2,R\sqrt2),\quad A_4(0,R\sqrt2).$$

Тогда точки $$B_1$$ и $$C_2$$ лежат на соседних сторонах квадрата на расстоянии $$R$$ от соответствующих вершин, и расстояние между ними равно

$$B_1C_2=R(2-\sqrt2).$$

Площадь правильного восьмиугольника равна сумме площадей 8 равных треугольников с вершиной в центре. Удобнее воспользоваться формулой площади правильного многоугольника через сторону $$a$$:

$$S_8=2(1+\sqrt2)a^2.$$

Подставим $$a=R(2-\sqrt2)$$:

$$S_8=2(1+\sqrt2)\,R^2(2-\sqrt2)^2.$$

Так как

$$(2-\sqrt2)^2=6-4\sqrt2,$$

то

$$S_8=2(1+\sqrt2)(6-4\sqrt2)R^2=4(\sqrt2-1)R^2.$$

Ответ

$$B_1C_3B_2C_4B_3C_1B_4C_2$$ — правильный восьмиугольник, $$S_8=4(\sqrt2-1)R^2.$$