Упр.1227 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В круг, площадь которого равна 36пи см2, вписан правильный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника и его площадь. Диаметр Луны составляет (приближённо) четвёртую часть диаметра Земли. Сравните объёмы Луны и Земли, считая их шарами.

1) Площадь круга равна $$36\pi\ \text{см}^2$$, значит

$$\pi R^2=36\pi,$$

откуда

$$R^2=36,\qquad R=6\ \text{см}.$$

В правильном шестиугольнике, вписанном в окружность, сторона равна радиусу окружности, поэтому

$$a=R=6\ \text{см}.$$

Площадь правильного шестиугольника найдём по формуле

$$S=\frac{1}{2}Pr,$$

где $$P=6a$$ — периметр, $$r=R\cos 30^\circ$$ — апофема.

Тогда

$$P=6\cdot 6=36\ \text{см},$$

$$r=6\cos 30^\circ=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \text{см}.$$

Следовательно,

$$S=\frac{1}{2}\cdot 36\cdot 3\sqrt{3}=54\sqrt{3}\ \text{см}^2.$$

2) Пусть диаметр Земли равен $$x$$, тогда диаметр Луны равен $$\frac{x}{4}$$. Значит, радиусы относятся как

$$R_{\text{Л}}=\frac{1}{4}R_{\text{З}}.$$

Объём шара пропорционален кубу радиуса, поэтому

$$\frac{V_{\text{З}}}{V_{\text{Л}}}=\left(\frac{R_{\text{З}}}{R_{\text{Л}}}\right)^3=4^3=64.$$

Значит, объём Земли в $$64$$ раза больше объёма Луны.

Ответ

$$A_1A_2=6\ \text{см},\qquad S_6=54\sqrt{3}\ \text{см}^2.$$

$$V_{\text{Земли}}:V_{\text{Луны}}=64:1.$$