Упр.1226 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Диагонали $$A_1A_4$$ и $$A_2A_7$$ правильного десятиугольника $$A_1A_2\ldots A_{10}$$, вписанного в окружность радиуса $$R$$, пересекаются в точке $$B$$ (рис. 319). Докажите, что:
а) $$A_2A_7=2R$$;
б) треугольники $$\triangle A_1A_2B$$ и $$\triangle BA_4O$$ — подобные равнобедренные треугольники;
в) $$A_1A_4-A_1A_2=R$$. - Пусть $$V$$ — объём шара радиуса $$R$$, $$S$$ — площадь его поверхности. Найдите:
а) $$S$$ и $$V$$, если $$R=4\text{ см}$$;
б) $$R$$ и $$S$$, если $$V=113{,}04\text{ см}^3$$;
в) $$R$$ и $$V$$, если $$S=64\pi\text{ см}^2$$.
Решение
Обозначим центр окружности через $$O$$.
а) Рассмотрим центральный угол $$\angle A_2OA_7$$. Так как в правильном десятиугольнике центральный угол между соседними вершинами равен $$\frac{360^\circ}{10}=36^\circ$$, то
$$\angle A_2OA_7=5\cdot 36^\circ=180^\circ.$$
Следовательно, точки $$A_2$$, $$O$$ и $$A_7$$ лежат на одной прямой, а значит, $$A_2A_7$$ — диаметр окружности. Тогда
$$A_2A_7=2R.$$
б) В правильном десятиугольнике все дуги между соседними вершинами равны, поэтому
$$\overset{\frown}{A_1A_2}=\overset{\frown}{A_2A_3}=\dots=\overset{\frown}{A_9A_{10}}=36^\circ.$$
Рассмотрим треугольники $$\triangle A_1A_2B$$ и $$\triangle A_4BO$$.
Так как $$B$$ лежит на диагонали $$A_1A_4$$, то лучи $$BA_1$$ и $$BA_4$$ лежат на одной прямой. Кроме того, $$A_2A_7$$ — диаметр, значит, точка $$O$$ лежит на прямой $$A_2B$$, и лучи $$BA_2$$ и $$BO$$ совпадают по направлению.
Тогда
$$\angle A_1BA_2=\angle ABO,$$
а также равны вписанные углы, опирающиеся на равные дуги:
$$\angle A_1A_2B=\frac12\overset{\frown}{A_1A_4}=72^\circ,$$
$$\angle A_4BO=\frac12\overset{\frown}{A_4A_7}=72^\circ.$$
Следовательно, $$\triangle A_1A_2B \sim \triangle A_4BO$$ по двум углам.
Кроме того, оба треугольника равнобедренные: в $$\triangle A_1A_2B$$ равны боковые стороны $$A_1B$$ и $$A_2B$$, а в $$\triangle A_4BO$$ равны $$BA_4$$ и $$BO$$.
в) Из равнобедренности $$\triangle A_1A_2B$$ получаем
$$A_1B=A_2B.$$
Из равнобедренности $$\triangle A_4BO$$ получаем
$$BA_4=BO.$$
Так как точки $$A_1, B, A_4$$ лежат на одной прямой, то
$$A_1A_4=A_1B+BA_4.$$
Тогда
$$A_1A_4-A_1A_2=(A_1B+BA_4)-A_1B=BA_4=BO.$$
Но $$BO$$ — радиус окружности, значит
$$A_1A_4-A_1A_2=R.$$
Ответ
а) $$A_2A_7=2R$$; б) $$\triangle A_1A_2B \sim \triangle A_4BO$$, оба треугольника равнобедренные; в) $$A_1A_4-A_1A_2=R$$.
