Упр.1226 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Диагонали А1А4 и А2А7 правильного десятиугольника A1A2…A10, вписанного в окружность радиуса R, пересекаются в точке В (рис. 319). Докажите, что: a) A2A7 = 2R; б) АА1А2В и АВА40 — подобные равнобедренные треугольники; в) А1А4-А1А2 = R. Пусть V — объём шара радиуса R, S — площадь его поверхности. Найдите: a) S и V, если R = 4см; б) R и S, если V = 113,04 см3; в) R и V, если S = 64пи см2.

Пусть $$O$$ — центр окружности, описанной около правильного десятиугольника.

а) Угол $$\angle A_2OA_7$$ — центральный. Так как вершины $$A_2$$ и $$A_7$$ делят окружность на две равные дуги по $$5$$ сторон, то

$$\angle A_2OA_7=5\cdot 36^\circ=180^\circ.$$

Значит, точки $$A_2, O, A_7$$ лежат на одной прямой, то есть $$A_2A_7$$ — диаметр окружности. Следовательно,

$$A_2A_7=2R.$$

б) В правильном десятиугольнике все дуги между соседними вершинами равны:

$$\overset{\frown}{A_1A_2}=\overset{\frown}{A_2A_3}=\dots=\overset{\frown}{A_9A_{10}}=\frac{360^\circ}{10}=36^\circ.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle A_1A_2B$$ и $$\triangle A_4BO$$.

Так как $$B$$ лежит на диагонали $$A_1A_4$$, то лучи $$BA_1$$ и $$BA_4$$ лежат на одной прямой. Кроме того, $$B$$ лежит на диагонали $$A_2A_7$$, а точка $$O$$ лежит на этой же прямой, поэтому лучи $$BA_2$$ и $$BO$$ также коллинеарны. Отсюда

$$\angle A_1BA_2=\angle ABO.$$

Центральный угол, соответствующий дуге $$A_1A_4$$, равен

$$\angle A_1OA_4=3\cdot 36^\circ=108^\circ,$$

а значит, в равнобедренном треугольнике $$A_1OA_4$$

$$\angle A_1A_4O=\angle OA_1A_4=\frac{180^\circ-108^\circ}{2}=36^\circ.$$

Аналогично для треугольника $$A_1A_2O$$ получаем

$$\angle A_1A_2O=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ.$$

Следовательно, соответствующие углы треугольников $$\triangle A_1A_2B$$ и $$\triangle A_4BO$$ равны, значит,

$$\triangle A_1A_2B \sim \triangle A_4BO.$$

Оба треугольника равнобедренные, так как в них равны углы при основаниях.

в) Из подобия треугольников следует, что

$$\frac{A_1A_2}{A_4O}=\frac{A_1B}{BA_4}.$$

Но $$\triangle A_1A_2B$$ равнобедренный, значит $$A_1A_2=A_1B$$. Тогда из подобия получаем

$$A_4O=BA_4.$$

Так как $$A_1, B, A_4$$ лежат на одной прямой, то

$$A_1A_4-A_1A_2=BA_4-A_1B=A_4O.$$

Поскольку $$A_4O=R,$$ то

$$A_1A_4-A_1A_2=R.$$

Ответ

$$A_2A_7=2R,$$ $$\triangle A_1A_2B \sim \triangle A_4BO,$$ $$A_1A_4-A_1A_2=R.$$