Упр.1225 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года. Диагонали $$A_1A_6$$ и $$A_2A_9$$ правильного двенадцатиугольника пересекаются в точке $$B$$ (рис. 318). Докажите, что: а) треугольники $$A_1A_2B$$ и $$A_6A_9B$$ равносторонние; б) $$A_1A_6=2r$$, где $$r$$ — радиус вписанной в двенадцатиугольник окружности.
Задание учебника 2023 года. Сферу радиуса $$R$$ покрасили слоем краски толщины $$d$$. Слоем такой же толщины покрасили многоугольник и затратили при этом такое же количество краски. Найдите площадь многоугольника.

Подробный ответ

Если толщина слоя краски равна $$d$$, то объём краски, израсходованной на сферу, равен разности объёмов шаров радиусов $$R+d$$ и $$R$$:

$$V=\frac{4}{3}\pi(R+d)^3-\frac{4}{3}\pi R^3 =\frac{4}{3}\pi\bigl(3R^2d+3Rd^2+d^3\bigr).$$

При покраске многоугольника слоем той же толщины $$d$$ объём краски равен $$S\cdot d$$, где $$S$$ — площадь многоугольника. По условию количества краски одинаковы, значит

$$S\cdot d=\frac{4}{3}\pi\bigl(3R^2d+3Rd^2+d^3\bigr).$$

Делим обе части на $$d$$:

$$S=\frac{4}{3}\pi\bigl(3R^2+3Rd+d^2\bigr).$$

Ответ: $$S=\frac{4}{3}\pi\left(3R^2+3Rd+d^2\right).$$