Упр.1222 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: На стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 3 дм, построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата. Площадь полной поверхности конуса равна 45 пи дм2. Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор с дугой в 60°. Найдите объём конуса.
1) Найдём сторону правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$3$$ дм. Для правильного треугольника
$$a=2R\sin 60^\circ=2\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ дм}.$$
2) Эта сторона является стороной квадрата, значит
$$a_{\square}=3\sqrt{3}\text{ дм}.$$
3) Для квадрата радиус описанной окружности равен половине диагонали:
$$R_{\square}=\frac{a_{\square}\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{2}\text{ дм}.$$
4) Рассмотрим конус. Дуга развёртки боковой поверхности равна $$60^\circ$$, поэтому
$$\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi l=2\pi r,$$
откуда
$$l=6r.$$
Площадь боковой поверхности:
$$S_{\text{бок}}=\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot \pi l^2=\frac{1}{6}\pi(6r)^2=6\pi r^2.$$
Полная поверхность равна
$$S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=\pi r^2+6\pi r^2=7\pi r^2=45\pi,$$
следовательно,
$$r^2=\frac{45}{7}.$$
5) Высота конуса:
$$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{(6r)^2-r^2}=\sqrt{35r^2}=r\sqrt{35}.$$
Подставим $$r^2=\frac{45}{7}$$:
$$h=\sqrt{35\cdot \frac{45}{7}}=\sqrt{225}=15\text{ дм}.$$
6) Объём конуса:
$$V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot \frac{45}{7}\cdot 15=\frac{225}{7}\pi\text{ дм}^3.$$
Ответ
$$R_{\square}=\frac{3\sqrt{6}}{2}\text{ дм},\quad V=\frac{225}{7}\pi\text{ дм}^3.$$
