Упр.1219 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сторона квадрата, изображённого на рисунке 317, равна $$a$$. Вычислите площадь закрашенной фигуры.
2. Докажите, что объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Площадь квадрата равна $$S_{ABCD}=a^2.$$

Закрашенная фигура состоит из четырёх одинаковых частей. Каждая из них — сектор круга радиуса $$\frac{a}{2}$$ с центральным углом $$90^\circ$$.

Тогда площадь одного сектора:

$$S_1=\frac{\pi R^2}{360^\circ}\cdot 90^\circ =\frac{\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2}{4} =\frac{\pi a^2}{16}.$$

Площадь закрашенной фигуры:

$$S_{\text{закр}}=4S_1=4\cdot \frac{\pi a^2}{16}=\frac{\pi a^2}{4}.$$

Искомая площадь равна площади квадрата без закрашенной части:

$$S_{\text{ост}}=a^2-\frac{\pi a^2}{4} =a^2\left(1-\frac{\pi}{4}\right) =a^2\frac{4-\pi}{4}.$$

Ответ

$$a^2\frac{4-\pi}{4}$$