Упр.1219 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Сторона квадрата, изображённого на рисунке 317, равна а. Вычислите площадь закрашенной фигуры. Докажите, что объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Подробный ответ

Площадь квадрата $$ABCD$$ равна

$$S_{ABCD}=a^2.$$

Закрашенная фигура состоит из четырёх одинаковых частей. Каждая из них — сектор круга радиуса $$\frac{a}{2}$$ с центральным углом $$90^\circ$$.

Тогда площадь одного сектора:

$$S_1=\frac{\pi R^2}{360^\circ}\cdot \alpha=\frac{\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2}{360^\circ}\cdot 90^\circ=\frac{\pi a^2}{16}.$$

Площадь закрашенной фигуры:

$$S_{\text{закр}}=4S_1=4\cdot \frac{\pi a^2}{16}=\frac{\pi a^2}{4}.$$

Тогда площадь незакрашенной части квадрата равна

$$S_{\text{ост}}=S_{ABCD}-S_{\text{закр}}=a^2-\frac{\pi a^2}{4}=a^2\cdot \frac{4-\pi}{4}.$$

Докажем формулу объёма конуса. Рассмотрим конус и пирамиду с одинаковыми высотами $$h$$ и площадями оснований $$S$$, лежащими в одной плоскости. Проведём сечение плоскостью, параллельной основаниям, на расстоянии $$x$$ от вершины.

В сечении конуса получится круг радиуса, пропорционального расстоянию до вершины, поэтому площадь сечения конуса равна

$$S_{\text{к}}(x)=S\left(\frac{x}{h}\right)^2.$$

Для пирамиды по подобию соответствующих сечений также получаем

$$S_{\text{п}}(x)=S\left(\frac{x}{h}\right)^2.$$

Следовательно, площади соответствующих сечений конуса и пирамиды на одинаковой высоте равны. По принципу Кавальери их объёмы равны.

Объём пирамиды известен:

$$V_{\text{п}}=\frac{1}{3}Sh.$$

Значит, и объём конуса равен

$$V_{\text{к}}=\frac{1}{3}Sh.$$