Упр.1216 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.
2. Диаметр основания цилиндра равен $$1\ \text{м}$$, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Пусть $$R_1=\frac{AC}{2},\quad R_2=\frac{CB}{2},\quad R=\frac{AB}{2}.$$

Площади полукругов равны половине площадей соответствующих кругов:

$$S_{AC}=\frac{1}{2}\pi R_1^2=\frac{\pi AC^2}{8},\qquad S_{CB}=\frac{1}{2}\pi R_2^2=\frac{\pi CB^2}{8},\qquad S_{AB}=\frac{1}{2}\pi R^2=\frac{\pi AB^2}{8}.$$

Так как $$\triangle ABC$$ прямоугольный, то по теореме Пифагора

$$AB^2=AC^2+CB^2.$$

Умножим это равенство на $$\frac{\pi}{8}$$:

$$\frac{\pi AB^2}{8}=\frac{\pi AC^2}{8}+\frac{\pi CB^2}{8}.$$

Следовательно,

$$S_{AB}=S_{AC}+S_{CB}.$$

Что и требовалось доказать.