Упр.1214 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Из круга радиуса r вырезан квадрат, вписанный в окружность, которая ограничивает круг. Найдите площадь оставшейся части круга. Пусть V, r и h — соответственно объём, радиус и высота цилиндра. Найдите: а) V, если r = 2корень2 см, h = 3 см; б) r, если V=120см3, h = 3,6 см; в) h, если r=h, V=8пи cм3.
Площадь круга радиуса $$r$$ равна
$$S_{\text{круга}}=\pi r^2.$$
Квадрат вписан в окружность, значит его диагональ равна диаметру круга:
$$d=2r.$$
Площадь квадрата через диагональ выражается формулой
$$S_{\text{кв}}=\frac{d^2}{2}.$$
Тогда
$$S_{\text{кв}}=\frac{(2r)^2}{2}=2r^2.$$
Площадь оставшейся части круга:
$$S=S_{\text{круга}}-S_{\text{кв}}=\pi r^2-2r^2=r^2(\pi-2).$$
Ответ
$$r^2(\pi-2)$$
Ход решения
Объём цилиндра вычисляется по формуле
$$V=\pi r^2h.$$
а) $$r=2\sqrt{2}\text{ см},\ h=3\text{ см}.$$ Тогда
$$V=\pi(2\sqrt{2})^2\cdot 3=\pi\cdot 8\cdot 3=24\pi\text{ см}^3.$$
б) $$V=120\text{ см}^3,\ h=3{,}6\text{ см}.$$ Тогда
$$120=\pi r^2\cdot 3{,}6,$$
$$r^2=\frac{120}{3{,}6\pi}=\frac{100}{3\pi},$$
$$r=\sqrt{\frac{100}{3\pi}}=\frac{10}{\sqrt{3\pi}}\text{ см}.$$
в) $$r=h,\ V=8\pi\text{ см}^3.$$ Тогда
$$V=\pi r^2h=\pi h^3,$$
$$\pi h^3=8\pi,$$
$$h^3=8,$$
$$h=2\text{ см}.$$
Ответ
а) $$24\pi\text{ см}^3$$; б) $$\frac{10}{\sqrt{3\pi}}\text{ см}$$; в) $$2\text{ см}$$.
