Упр.1208 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите площадь круга, вписанного:
а) в равносторонний треугольник со стороной $$a$$;
б) в прямоугольный треугольник с катетом $$a$$ и прилежащим к нему острым углом $$\alpha$$;
в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной $$a$$ и углом $$\alpha$$, противолежащим основанию;
г) в равнобедренную трапецию с большим основанием $$a$$ и острым углом $$\alpha$$. - Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона её основания равна $$a$$, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведённого через вершину пирамиды и большую диагональ основания.
Пусть $$r$$ — радиус вписанной окружности. Тогда площадь круга равна $$S=\pi r^2$$.
а) Равносторонний треугольник со стороной $$a$$
Для равностороннего треугольника высота равна $$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$, а радиус вписанной окружности составляет треть высоты:
$$r=\frac{h}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$
Тогда
$$S=\pi r^2=\pi\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2=\frac{\pi a^2}{12}.$$
б) Прямоугольный треугольник с катетом $$a$$ и прилежащим к нему острым углом $$\alpha$$
Обозначим радиус вписанной окружности через $$r$$. Для прямоугольного треугольника с катетом $$BC=a$$ и углом $$\angle B=\alpha$$ получаем:
$$AC=BC\cdot\tan\alpha=a\tan\alpha,$$
$$AB=\frac{BC}{\cos\alpha}=\frac{a}{\cos\alpha}.$$
Используя свойства касательных к окружности и равенство касательных из одной точки, получаем
$$r=\frac{a(\sin\alpha+\cos\alpha-1)}{2\cos\alpha}.$$
Следовательно,
$$S=\pi r^2=\frac{\pi a^2(\sin\alpha+\cos\alpha-1)^2}{4\cos^2\alpha}.$$
в) Равнобедренный треугольник с боковой стороной $$a$$ и углом $$\alpha$$, противолежащим основанию
Пусть $$BH$$ — биссектриса вершины, тогда
$$\angle ABH=\angle HBC=\frac{\alpha}{2}.$$
Из прямоугольного треугольника $$ABH$$:
$$AH=AB\sin\frac{\alpha}{2}=a\sin\frac{\alpha}{2},$$
$$BH=AB\cos\frac{\alpha}{2}=a\cos\frac{\alpha}{2}.$$
Для радиуса вписанной окружности получаем
$$r=\frac{a\sin\alpha}{2\left(1+\sin\frac{\alpha}{2}\right)}.$$
Тогда площадь круга:
$$S=\pi r^2=\frac{\pi a^2\sin^2\alpha}{4\left(1+\sin\frac{\alpha}{2}\right)^2}.$$
г) Равнобедренная трапеция с большим основанием $$a$$ и острым углом $$\alpha$$
Пусть $$O$$ — центр вписанной окружности, $$H$$ — точка касания с большим основанием. Тогда $$OH=r$$, а в равнобедренной трапеции высота проходит через середину основания, поэтому
$$AH=\frac{a}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$AOH$$:
$$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{OH}{AH}=\frac{r}{a/2}.$$
Отсюда
$$r=\frac{a}{2}\tg\frac{\alpha}{2}.$$
Следовательно,
$$S=\pi r^2=\frac{\pi a^2\tg^2\frac{\alpha}{2}}{4}.$$
Ответ
а) $$\frac{\pi a^2}{12}$$; б) $$\frac{\pi a^2(\sin\alpha+\cos\alpha-1)^2}{4\cos^2\alpha}$$; в) $$\frac{\pi a^2\sin^2\alpha}{4\left(1+\sin\frac{\alpha}{2}\right)^2}$$; г) $$\frac{\pi a^2\tg^2\frac{\alpha}{2}}{4}$$.
