Упр.1207 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

а) У прямоугольника диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника.

Найдём диагональ прямоугольника:

$$d=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Тогда радиус окружности

$$R=\frac d2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$

Площадь круга:

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\right)^2=\frac{\pi(a^2+b^2)}{4}.$$

б) В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности. Если катет, противолежащий углу $$\alpha$$, равен $$a$$, то

$$\sin \alpha=\frac{a}{d},$$

где $$d$$ — гипотенуза. Следовательно,

$$d=\frac{a}{\sin \alpha}.$$

Тогда

$$R=\frac d2=\frac{a}{2\sin \alpha}.$$

Площадь круга:

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{a}{2\sin \alpha}\right)^2=\frac{\pi a^2}{4\sin^2 \alpha}.$$

в) В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Значит, она делит основание пополам:

$$\frac a2$$

— половина основания.

Пусть $$R$$ — радиус описанной окружности. Тогда центр окружности лежит на высоте, а расстояние от центра до основания равно $$R-h$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — радиус, а катеты равны $$R-h$$ и $$\frac a2$$:

$$R^2=(R-h)^2+\left(\frac a2\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$R^2=R^2-2Rh+h^2+\frac{a^2}{4}.$$

Отсюда

$$2Rh=h^2+\frac{a^2}{4},$$

$$R=\frac{4h^2+a^2}{8h}.$$

Тогда площадь круга

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{4h^2+a^2}{8h}\right)^2=\frac{\pi(4h^2+a^2)^2}{64h^2}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi(a^2+b^2)}{4}$$; б) $$\frac{\pi a^2}{4\sin^2 \alpha}$$; в) $$\frac{\pi(4h^2+a^2)^2}{64h^2}$$.