Упр.1206 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Как изменится площадь круга, если его радиус:
   а) увеличить в $$k$$ раз;
   б) уменьшить в $$k$$ раз?
2. Докажите, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды (т. е. сумма площадей её боковых граней) равна половине произведения периметра основания на апофему.

Пусть $$h$$ — апофема правильной пирамиды, а $$a_1,a_2,\dots,a_n$$ — стороны её основания. Тогда каждая боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием $$a_i$$ и высотой $$h$$, поэтому площадь i-й грани равна

$$S_i=\frac12 a_i h.$$

Сложим площади всех боковых граней:

$$S_{\text{бок}}=\frac12 a_1h+\frac12 a_2h+\cdots+\frac12 a_nh =\frac12 h(a_1+a_2+\cdots+a_n).$$

Но $$a_1+a_2+\cdots+a_n=P$$, где $$P$$ — периметр основания. Значит,

$$S_{\text{бок}}=\frac12 Ph.$$

Итак, площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Ответ: $$S_{\text{бок}}=\frac12 Ph.$$