Упр.1202 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Радиус закругления пути железнодорожного полотна равен 5 км, а длина дуги закругления — 400 м. Какова градусная мера дуги закругления? Изобразите тетраэдр DABC и на рёбрах DB, DC и ВС отметьте соответственно точки М, N и К. Постройте точку пересечения: а) прямой MN и плоскости ABC; б) прямой KN и плоскости ABD.

Подробный ответ

Переведём длину дуги в километры:

$$l=400\text{ м}=0{,}4\text{ км}.$$

Длина дуги окружности выражается формулой

$$l=\frac{\pi R}{180^\circ}\cdot \alpha,$$

где $$R=5\text{ км}$$ — радиус, $$\alpha$$ — градусная мера дуги.

Тогда

$$\alpha=\frac{l\cdot 180^\circ}{\pi R}=\frac{0{,}4\cdot 180^\circ}{3{,}14\cdot 5}\approx 4^\circ 35′.$$

Теперь рассмотрим тетраэдр $$DABC$$, где $$M\in DB,$$ $$N\in DC,$$ $$K\in BC.$$

а) Точки $$M$$ и $$N$$ лежат в плоскости $$DBC$$, значит прямая $$MN$$ тоже лежит в этой плоскости. Плоскости $$DBC$$ и $$ABC$$ пересекаются по прямой $$BC$$. Поэтому точка пересечения прямой $$MN$$ с плоскостью $$ABC$$ — это точка пересечения прямой $$MN$$ с прямой $$BC$$:

$$E=MN\cap BC.$$

Следовательно, искомая точка — $$E$$.

б) Точки $$K$$ и $$N$$ также лежат в плоскости $$DBC$$, значит прямая $$KN$$ лежит в этой плоскости. Плоскости $$DBC$$ и $$ABD$$ пересекаются по прямой $$DB$$. Поэтому точка пересечения прямой $$KN$$ с плоскостью $$ABD$$ — это точка пересечения прямой $$KN$$ с прямой $$DB$$:

$$F=KN\cap DB.$$

Следовательно, искомая точка — $$F$$.