Упр.1200 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Шлифовальный камень, имеющий форму диска, находится в защитном кожухе (рис. 316). Диаметр камня равен $$58\ \text{см}$$, дуга незащищённой его части равна $$117^\circ$$. Найдите длину дуги незащищённой части камня.
- Найдите объём правильной $$n$$-угольной призмы, все рёбра которой равны $$a$$, если: а) $$n=3$$; б) $$n=4$$; в) $$n=6$$; г) $$n=8$$.
Так как все рёбра правильной призмы равны $$a$$, то сторона основания тоже равна $$a$$, а высота призмы равна $$a$$. Следовательно, объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
а) При $$n=3$$ основание — равносторонний треугольник:
$$S_3=\frac{1}{2}a\cdot a\sin 60^\circ=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
Тогда
$$V=S_3\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.$$
б) При $$n=4$$ основание — квадрат:
$$S_4=a^2,$$
значит
$$V=S_4\cdot a=a^3.$$
в) При $$n=6$$ основание — правильный шестиугольник:
$$S_6=6\cdot \frac{1}{2}a^2\sin 60^\circ=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}.$$
Тогда
$$V=S_6\cdot a=\frac{3a^3\sqrt{3}}{2}.$$
г) При $$n=8$$ основание — правильный восьмиугольник. Его площадь равна
$$S_8=2(1+\sqrt{2})a^2,$$
поэтому
$$V=S_8\cdot a=2(1+\sqrt{2})a^3.$$
Ответ: а) $$\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$$; б) $$a^3$$; в) $$\frac{3a^3\sqrt{3}}{2}$$; г) $$2(1+\sqrt{2})a^3$$.
