Упр.120 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Медиана $$AM$$ треугольника $$ABC$$ равна отрезку $$BM$$. Докажите, что один из углов треугольника $$ABC$$ равен сумме двух других углов.
- В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведена медиана $$BD$$. На сторонах $$AB$$ и $$CB$$ отмечены соответственно точки $$E$$ и $$F$$ так, что $$AE=CF$$. Докажите, что:
а) $$\triangle BDE=\triangle BDF$$;
б) $$\triangle ADE=\triangle CDF$$.
Пусть $$\angle A=\alpha,$$ $$\angle B=\beta,$$ $$\angle C=\gamma.$$
Так как $$AM$$ — медиана, то точка $$M$$ лежит на стороне $$BC$$ и $$BM=MC.$$ По условию также $$BM=AM.$$ Значит, в треугольнике $$ABM$$ стороны $$AM$$ и $$BM$$ равны, поэтому он равнобедренный. Тогда его углы при основании равны:
$$\angle BAM=\angle ABM.$$
Но $$\angle BAM=\angle A$$, а $$\angle ABM=\angle B$$, так как точка $$M$$ лежит на прямой $$BC$$. Следовательно,
$$\angle A=\angle B.$$
Аналогично, в треугольнике $$AMC$$ имеем $$AM=MC$$, значит он равнобедренный, и
$$\angle MAC=\angle ACM.$$
Здесь $$\angle MAC=\angle A$$, а $$\angle ACM=\angle C$$. Поэтому
$$\angle A=\angle C.$$
Тогда в треугольнике $$ABC$$ получаем
$$\angle A=\angle B=\angle C.$$
Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, значит каждый из них равен $$60^\circ$$. Следовательно, любой угол равен сумме двух других, например:
$$\angle A=\angle B+\angle C.$$
Ответ
$$\angle A=\angle B+\angle C.$$
