Упр.120 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Медиана AM треугольника ABC равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов. В В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены соответственно точки Е и F так, что AE = CF. Докажите, что: a) треугольникBDE = треугольникBDF; б) треугольникADE = треугольникCDF.

1) Рассмотрим треугольники $$\triangle AMB$$ и $$\triangle AMC$$.

Так как $$AM$$ — медиана, то $$BM=MC$$. Кроме того, $$AM$$ — общая сторона.

Если в условии дано, что $$BM=AM$$, то треугольник $$AMB$$ равнобедренный, значит $$\angle 1=\angle 2$$. Аналогично, если $$AM=MC$$, то треугольник $$AMC$$ равнобедренный, значит $$\angle 3=\angle 4$$.

Тогда

$$\angle A=\angle 2+\angle 3=\angle 1+\angle 4.$$

Следовательно, один из углов треугольника равен сумме двух других, что и требовалось доказать.

2) Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$ с основанием $$AC$$. Тогда

$$AB=BC,\qquad \angle A=\angle C.$$

Так как $$BD$$ — медиана, то $$AD=DC$$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой, значит

$$\angle EBD=\angle DBF.$$

a) Рассмотрим треугольники $$BDE$$ и $$BDF$$.

Имеем:

$$BD$$ — общая сторона,

$$\angle EBD=\angle DBF$$,

$$BE=BF$$, так как

$$BE=AB-AE,\qquad BF=BC-CF,$$

а по условию $$AB=BC$$ и $$AE=CF$$.

Следовательно, $$\triangle BDE \cong \triangle BDF$$ по двум сторонам и углу между ними.

б) Рассмотрим треугольники $$ADE$$ и $$CDF$$.

Имеем:

$$AD=DC,$$

$$AE=CF$$,

$$\angle DAE=\angle DCF,$$

так как $$\angle A=\angle C$$ и точки $$E\in AB$$, $$F\in CB$$.

Следовательно, $$\triangle ADE \cong \triangle CDF$$ по двум сторонам и углу между ними.

Ответ

$$\triangle BDE \cong \triangle BDF,$$ $$\triangle ADE \cong \triangle CDF.$$