Упр.1197 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Вычислите длину круговой орбиты искусственного спутника Земли, если спутник вращается на расстоянии 320 км от поверхности Земли, а радиус Земли равен 6370 км. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если АС1 = 13 см, BD= 12 см и ВС1 = 11 см.

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда: $$AB=a,$$ $$AD=b,$$ $$BB_1=c.$$

Так как все грани прямоугольника, то $$\triangle BAD$$ прямоугольный, и по теореме Пифагора:

$$a^2+b^2=BD^2=12^2=144.$$

Диагональ параллелепипеда $$AC_1=13$$, значит

$$AC_1^2=a^2+b^2+c^2=13^2=169.$$

Тогда

$$c^2=169-144=25,\quad c=5.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCC_1$$. В нём

$$BC^2+CC_1^2=BC_1^2.$$

Так как $$BC=AD=b,$$ $$CC_1=BB_1=c,$$ $$BC_1=11,$$ получаем

$$b^2+c^2=11^2=121.$$

Подставим $$c=5$$:

$$b^2=121-25=96,\quad b=\sqrt{96}=4\sqrt{6}.$$

Теперь найдём $$a$$:

$$a^2=144-96=48,\quad a=\sqrt{48}=4\sqrt{3}.$$

Объём параллелепипеда:

$$V=abc=4\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{6}\cdot 5=80\sqrt{18}=240\sqrt{2}\ \text{см}^3.$$

Ответ

$$240\sqrt{2}\ \text{см}^3$$