Упр.1194 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной а; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с; в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а; г) в равнобедренный треугольник с углом при основании а и высотой h, проведённой к основанию. Ребро куба равно а. Найдите диагональ этого куба.

а) В квадрате центр вписанной окружности находится в точке пересечения диагоналей, а диаметр окружности равен стороне квадрата. Поэтому

$$2r=a,\qquad r=\frac a2.$$

Тогда длина окружности:

$$C=2\pi r=2\pi\cdot \frac a2=\pi a.$$

б) Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $$c$$. Пусть $$r$$ — радиус вписанной окружности. Тогда для катетов $$x$$ имеем

$$c=x\sqrt2,\qquad x=\frac{c}{\sqrt2}.$$

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности равен

$$r=\frac{a+b-c}{2}.$$

Здесь $$a=b=\frac{c}{\sqrt2}$$, значит

$$r=\frac{\frac{c}{\sqrt2}+\frac{c}{\sqrt2}-c}{2} =\frac{c(\sqrt2-1)}{2}.$$

Тогда

$$C=2\pi r=2\pi\cdot \frac{c(\sqrt2-1)}{2} =\pi c(\sqrt2-1).$$

в) Пусть в прямоугольном треугольнике $$\angle A=\alpha$$, $$\angle C=90^\circ$$, $$AB=c$$. Тогда

$$BC=c\sin\alpha,\qquad AC=c\cos\alpha.$$

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника:

$$r=\frac{a+b-c}{2}.$$

Следовательно,

$$r=\frac{c\sin\alpha+c\cos\alpha-c}{2} =\frac{c(\sin\alpha+\cos\alpha-1)}{2}.$$

Тогда

$$C=2\pi r=\pi c(\sin\alpha+\cos\alpha-1).$$

г) В равнобедренном треугольнике $$AB=BC$$, $$\angle A=\angle C=\alpha$$, высота $$BH=h$$. Так как $$BH$$ — высота, то в прямоугольном треугольнике $$ABH$$

$$\tan\alpha=\frac{BH}{AH}=\frac{h}{AH},\qquad AH=\frac{h}{\tan\alpha}.$$

Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла $$A$$, поэтому в треугольнике $$AOH$$

$$\angle OAH=\frac{\alpha}{2},\qquad \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{OH}{AH}.$$

Отсюда

$$r=OH=AH\tan\frac{\alpha}{2} =\frac{h}{\tan\alpha}\tan\frac{\alpha}{2}.$$

Следовательно, длина окружности равна

$$C=2\pi r=2\pi\cdot \frac{h}{\tan\alpha}\tan\frac{\alpha}{2}.$$

Для куба с ребром $$a$$ сначала найдём диагональ грани:

$$d_1=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2.$$

Тогда пространственная диагональ куба:

$$d=\sqrt{d_1^2+a^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt3.$$

Ответ

а) $$\pi a$$; б) $$\pi c(\sqrt2-1)$$; в) $$\pi c(\sin\alpha+\cos\alpha-1)$$; г) $$2\pi \dfrac{h}{\tan\alpha}\tan\dfrac{\alpha}{2}$$; диагональ куба: $$a\sqrt3$$.