Упр.1194 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной $$a$$; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $$c$$; в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой $$c$$ и острым углом $$a$$; г) в равнобедренный треугольник с углом при основании $$a$$ и высотой $$h$$, проведённой к основанию.
2. Ребро куба равно $$a$$. Найдите диагональ этого куба.

а) В квадрате центр вписанной окружности находится в точке пересечения диагоналей, а диаметр окружности равен стороне квадрата. Значит, $$2r=a,$$ откуда $$r=\frac a2.$$ Тогда длина окружности

$$C=2\pi r=2\pi\cdot \frac a2=\pi a.$$

б) Пусть $$r$$ — радиус вписанной окружности. В равнобедренном прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$c$$ катеты равны $$\frac{c}{\sqrt2}.$$ Для такого треугольника

$$r=\frac{a+b-c}{2},$$

где $$a=b=\frac{c}{\sqrt2}.$$ Тогда

$$r=\frac{\frac{c}{\sqrt2}+\frac{c}{\sqrt2}-c}{2}=\frac{c(\sqrt2-1)}{2}.$$

Следовательно,

$$C=2\pi r=2\pi\cdot \frac{c(\sqrt2-1)}{2}=\pi c(\sqrt2-1).$$

в) Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $$AC$$ и $$BC.$$ Тогда

$$AC=c\cos\alpha,\qquad BC=c\sin\alpha.$$

Для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике имеем

$$r=\frac{AC+BC-c}{2}.$$

Подставим найденные значения:

$$r=\frac{c\cos\alpha+c\sin\alpha-c}{2}=\frac{c(\cos\alpha+\sin\alpha-1)}{2}.$$

Тогда длина окружности

$$C=2\pi r=\pi c(\cos\alpha+\sin\alpha-1).$$

г) В равнобедренном треугольнике высота $$BH=h$$ является также медианой и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$:

$$\tan\alpha=\frac{BH}{AH},\qquad AH=\frac{h}{\tan\alpha}.$$

Так как $$AO$$ — биссектриса, то

$$\angle OAH=\frac{\alpha}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOH$$

$$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{OH}{AH},\qquad r=OH=AH\tan\frac{\alpha}{2}.$$

Следовательно,

$$r=\frac{h}{\tan\alpha}\tan\frac{\alpha}{2}.$$

Итак, длина вписанной окружности равна

$$C=2\pi r=\frac{2\pi h\tan\frac{\alpha}{2}}{\tan\alpha}.$$

Ответ: а) $$\pi a$$; б) $$\pi c(\sqrt2-1)$$; в) $$\pi c(\cos\alpha+\sin\alpha-1)$$; г) $$\dfrac{2\pi h\tan\frac{\alpha}{2}}{\tan\alpha}$$.